Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Análise Combinatória / Propriedades de Algarismos
Enunciado:
Dizemos que um número é ordeiro quando tem exatamente três algarismos diferentes de zero que estão em ordem crescente ou decrescente de valor.
Por exemplo: 237 e 921 são ordeiros, mas 231 e 315 não são.
Qual é a soma de todos os números ordeiros?
Alternativas:
- (A) 93250
- (B) 93240
- (C) 93260
- (D) 93230
- (E) 93270
Ver Solução
1. Entendendo o termo “ordeiro”:
O número deve ter 3 algarismos distintos e não conter 0. Os algarismos devem estar em ordem crescente (como 2,3,7 → 237) ou decrescente (como 9,2,1 → 921).
2. Quais são os algarismos possíveis? 1 a 9 (zero é excluído)
3. Quantos subconjuntos de 3 dígitos distintos de 1 a 9 existem?
\[ \binom{9}{3} = 84 \]Para cada subconjunto de 3 dígitos distintos, podemos formar:
- 1 número crescente (algarismos em ordem crescente)
- 1 número decrescente (algarismos em ordem decrescente)
Total de números ordeiros: \[ 2 \cdot \binom{9}{3} = 2 \cdot 84 = 168 \]
4. Vamos somar todos esses 168 números:
Para cada subconjunto de 3 dígitos distintos \( \{a, b, c\} \), com \( a < b < c \), formamos: - número crescente: \(100a + 10b + c\) - número decrescente: \(100c + 10b + a\)Soma de ambos: \[ (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101a + 20b + 101c \]Soma dos dois números formados por um subconjunto \( \{a, b, c\} \): \[ 101(a + c) + 20b \]Agora, somamos isso para todos os 84 subconjuntos ordenados.Mas como temos muitos cálculos, essa questão foi pensada para ser resolvida por código ou por **processo direto**.5. Solução direta:
Gerando todos os subconjuntos ordenados com 3 algarismos de 1 a 9:- Combinações: \(\binom{9}{3} = 84\)
- Para cada, formar os dois números (ex: 2,3,7 → 237 e 732)
- Somar todos os 168 valores.
Gabarito: (B) 93240
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