Questão 21 – PROFMAT 2025
No trapézio \(ABCD\) da figura abaixo estão indicados os ângulos retos e as medidas dos segmentos.
Determine a razão entre as medidas de \(BE\) e \(AD\).
(A) \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)
(B) 1
(C) \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
(D) \( \frac{1}{2} \)
(E) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Solução Passo a Passo
1º Passo: Calcular \(BD\) usando Pitágoras no triângulo \(BCD\):
\[ BD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies BD = 5 \]
2º Passo: Determinar \(AD\). Marcando o ponto \(M\) que projeta \(A\) na base \(DC\), temos \(MD = 2\) e \(AM = 4\). Assim: \[ AD^2 = 2^2 + 4^2 = 20 \implies AD = 2\sqrt{5} \]
3º Passo: O triângulo \(ABD\) é isósceles na base, logo:
\[ ED = \frac{1}{2} AD = \sqrt{5} \]
4º Passo: Pelo teorema de Pitágoras em \(BDE\):
\[ BE^2 = BD^2 – ED^2 = 25 – 5 = 20 \implies BE = 2\sqrt{5} \]
5º Passo: Razão entre os segmentos:
\[ \frac{BE}{AD} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 1 \]
Resposta: Alternativa B.
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