Resolva as equações exponenciais a seguir:
a) \( 2^x = 64 \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Reescrevendo 64 como potência de 2:
Sabemos que:
$$ 64 = 2^6 $$
🔎 Etapa 2 – Igualando as potências de mesma base:
Como temos a mesma base (2), podemos igualar os expoentes:
$$ x = 6 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{6\}} \)
b) \( 10^x = 1000 \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Reescrevendo 1000 como potência de 10:
Sabemos que:
$$ 1000 = 10^3 $$
🔎 Etapa 2 – Igualando os expoentes:
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes diretamente:
$$ x = 3 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{3\}} \)
c) \( 9^x = 243 \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Reescrevendo 9 e 243 como potências de mesma base:
Sabemos que:
- \( 9 = 3^2 \)
- \( 243 = 3^5 \)
Substituindo na equação:
$$ (3^2)^x = 3^5 $$
🔎 Etapa 2 – Aplicando a propriedade de potência de potência:
$$ 3^{2x} = 3^5 $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ 2x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ \dfrac{5}{2} \right\}} \)
d) \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \dfrac{1}{32} \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Escrevendo \(\dfrac{1}{32}\) como potência de \(\dfrac{1}{2}\):
Sabemos que:
$$ 32 = 2^5 \Rightarrow \dfrac{1}{32} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^5 $$
🔎 Etapa 2 – Igualando as potências:
Como as bases são iguais, basta igualar os expoentes:
$$ x = 5 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{5\}} \)
e) \( \left(\dfrac{1}{4}\right)^{4x} = 0{,}25 \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Escrevendo \(0{,}25\) como fração e potência de \(\dfrac{1}{4}\):
Sabemos que:
$$ 0{,}25 = \dfrac{1}{4} = \left( \dfrac{1}{4} \right)^1 $$
🔎 Etapa 2 – Igualando as potências:
Como as bases são iguais, basta igualar os expoentes:
$$ 4x = 1 $$
🔎 Etapa 3 – Isolando o valor de \(x\):
$$ x = \dfrac{1}{4} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}} \)
f) \( 4^x = \dfrac{1}{64} \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Reescrevendo ambas as expressões como potências de mesma base:
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 64 = 2^6 \Rightarrow \dfrac{1}{64} = 2^{-6} \)
Substituindo na equação:
$$ (2^2)^x = 2^{-6} $$
🔎 Etapa 2 – Potência de potência:
$$ 2^{2x} = 2^{-6} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ 2x = -6 \Rightarrow x = -3 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{-3\}} \)
g) \( 3^x = \sqrt{3} \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Escrevendo a raiz como potência:
Sabemos que:
$$ \sqrt{3} = 3^{1/2} $$
🔎 Etapa 2 – Igualando as potências de mesma base:
$$ 3^x = 3^{1/2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}} \)
h) \( 4^x = \sqrt[3]{32} \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Etapa 1 – Escrevendo ambos os lados como potências de 2:
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 32 = 2^5 \Rightarrow \sqrt[3]{32} = (2^5)^{1/3} = 2^{5/3} \)
Substituindo na equação:
$$ (2^2)^x = 2^{5/3} $$
🔎 Etapa 2 – Potência de potência:
$$ 2^{2x} = 2^{5/3} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ 2x = \dfrac{5}{3} \Rightarrow x = \dfrac{5}{6} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ \dfrac{5}{6} \right\}} \)
