Enunciado: Se \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) é uma função definida por:
$$ f(x) = -2x^2 + x + 1 $$
Então os valores de \( x \) para os quais \( f(x) \) assume valores positivos são:
a) \( -2 < x < 1 \)
b) \( -1 \leq x < 2 \)
c) \( -1 \leq x \leq \frac{1}{2} \)
d) \( -1 < x < \frac{1}{2} \)
e) \( -\frac{1}{2} < x < 1 \)
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1) Estudar o sinal da função quadrática:
$$ f(x) = -2x^2 + x + 1 $$ Coeficientes: \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \)
2) Calcular as raízes:
$$ \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm 3}{-4} $$
Raízes: \( x_1 = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{-1 – 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \)
3) Sinal da função:
Parábola com concavidade para baixo (a < 0), portanto é positiva entre as raízes.
Intervalo: \( f(x) > 0 \) se \( x \in \left( -\frac{1}{2},\ 1 \right) \)
✅ Alternativa correta: letra e)
