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Questão 38 – Equação Exponencial com Frações (ITA-SP)
Resolva a equação:
$$ 9^{x – \frac{1}{2}} – \frac{4}{3^{1 – x}} = -1 $$
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências na base 3:
\( 9 = 3^2 \), logo:
$$ 9^{x – \frac{1}{2}} = (3^2)^{x – \frac{1}{2}} = 3^{2x – 1} $$
Então a equação fica:
$$ 3^{2x – 1} – \frac{4}{3^{1 – x}} = -1 $$
🔎 Etapa 2 – Eliminar denominador:
Multiplicamos todos os termos por \( 3^{1 – x} \):
$$ 3^{2x – 1} \cdot 3^{1 – x} – 4 = -1 \cdot 3^{1 – x} $$
Simplificando os expoentes:
$$ 3^{2x – 1 + 1 – x} – 4 = -3^{1 – x} $$ $$ 3^{x} – 4 = -3^{1 – x} $$
🔎 Etapa 3 – Tentar valores inteiros:
- Para \( x = 0 \):
- \( 3^0 = 1 \), \( 3^{1 – 0} = 3 \)
- \( 1 – 4 = -3 \Rightarrow -3 = -3 \Rightarrow \text{Serve} \)
- Para \( x = 1 \):
- \( 3^1 = 3 \), \( 3^{1 – 1} = 3^0 = 1 \)
- \( 3 – 4 = -1 \Rightarrow -1 = -1 \Rightarrow \text{Serve} \)
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{0,\ 1\}} \)
