Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Frações e Equações Algébricas
Enunciado:
O número obtido subtraindo um inteiro positivo \( k \) do numerador e do denominador da fração \( \frac{2026}{2025} \) é igual a \( \frac{2025}{2026} \).
Qual é a soma dos algarismos de \( k \)?
Alternativas:
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 33
- (D) 42
- (E) 44
Ver Solução
1. Interpretando a equação:
A nova fração é obtida subtraindo \( k \) do numerador e do denominador da fração original:
\[
\frac{2026 – k}{2025 – k} = \frac{2025}{2026}
\]
2. Multiplicando em cruz:
\[ (2026 – k)(2026) = (2025 – k)(2025) \]
3. Desenvolvendo os dois lados:
- Lado esquerdo: \[ 2026 \cdot 2026 – 2026k \]
- Lado direito: \[ 2025 \cdot 2025 – 2025k \]
4. Montando a equação:
\[ 2026^2 – 2026k = 2025^2 – 2025k \]
5. Isolando os termos com \( k \):
\[ 2026^2 – 2025^2 = 2026k – 2025k = k \]
6. Usando a identidade da diferença de quadrados:
\[ 2026^2 – 2025^2 = \] \[ (2026 + 2025)(2026 – 2025) = \] \[ 4051 \cdot 1 = 4051 \] \[ \Rightarrow k = 4051 \]
7. Soma dos algarismos de \( k = 4051 \):
\( 4 + 0 + 5 + 1 = \boxed{10} \)
Gabarito: (B) 10
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