Enunciado: Determine os valores reais de \( x \) que satisfazem a inequação:
$$
4^x – 10 \cdot 2^x + 16 < 0
$$ 🔎 Etapa 1 – Reescrevendo na mesma base:
Como \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \), a inequação se torna:
$$ (2^x)^2 – 10 \cdot 2^x + 16 < 0 $$ 🔎 Etapa 2 – Substituindo \( y = 2^x \):
A inequação fica:
$$ y^2 – 10y + 16 < 0 $$ Vamos resolver a inequação do segundo grau:
$$ \Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 – 64 = 36 $$
$$ y_1 = \frac{10 – \sqrt{36}}{2} = \frac{10 – 6}{2} = 2 $$
A inequação \( y^2 – 10y + 16 < 0 \) é satisfeita no intervalo:
$$ 2 < y < 8 $$ 🔎 Etapa 3 – Voltando para \( x \):
Como \( y = 2^x \), temos:
$$ 2 < 2^x < 8 $$ Aplicando logaritmo ou reconhecendo potências de 2:
$$ 2^1 < 2^x < 2^3 \Rightarrow 1 < x < 3 $$ ✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
$$ y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8 $$
