Questão 5 – Teorema de Tales / Razões em Trapézios

Questão 5

(UFU-MG) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio \( ADD’A’ \), com \( AD = 90 \, \text{m} \) e \( A’D’ = 135 \, \text{m} \), como mostra o esquema da figura abaixo:

Área em formato de trapézio entre avenidas e ruas

Essa área foi dividida em terrenos \( ABB’A’ \), \( BCC’B’ \) e \( CDD’C’ \), todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas, tais que:

  • \( AB = 40 \, \text{m} \)
  • \( BC = 30 \, \text{m} \)
  • \( CD = 20 \, \text{m} \)

De acordo com essas informações, a diferença, em metros, \( A’B’ – C’D’ \) é igual a:

  • a) 20
  • b) 30
  • c) 15
  • d) 45

Solução Passo a Passo:

O enunciado nos informa que os triângulos e trapézios são semelhantes, então podemos aplicar o Teorema de Tales para obter os valores de \( A’B’ \) e \( C’D’ \).

Sabemos que:

\[ \frac{AD}{A’D’} = \frac{AB}{A’B’} \Rightarrow \frac{90}{135} = \frac{40}{A’B’} \]

Multiplicando cruzado:

\[ 90 \cdot A’B’ = 135 \cdot 40 \] \[ A’B’ = \frac{135 \cdot 40}{90} = \frac{5400}{90} = 60 \]

Agora aplicamos o mesmo raciocínio para \( C’D’ \):

\[ \frac{AD}{A’D’} = \frac{CD}{C’D’} \Rightarrow \frac{90}{135} = \frac{20}{C’D’} \] \[ C’D’ = \frac{135 \cdot 20}{90} = \frac{2700}{90} = 30 \]

Portanto:

\[ A’B’ – C’D’ = 60 – 30 = \boxed{30 \, \text{m}} \]

Resposta correta: letra b.


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