Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Funções Reais / Função Funcional
Enunciado:
Uma função \( f \) é tal que:
\[
f\left(\frac{x}{y}\right) = y \cdot f(x)
\]
para quaisquer números reais \( x \) e \( y \) diferentes de zero.
Se \( f(6) = 4 \), qual é o valor de \( f(3) \)?
Alternativas:
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 6
- (D) 8
- (E) 24
Ver Solução
1. Dado:
A função satisfaz: \( f\left(\frac{x}{y}\right) = y \cdot f(x) \)
2. Sabemos que: \( f(6) = 4 \)
3. Queremos calcular: \( f(3) \)
Vamos usar a identidade funcional para chegar a \( f(3) \):
Seja \( x = 6 \) e \( y = 2 \):
\[
f\left(\frac{6}{2}\right) = 2 \cdot f(6) \Rightarrow f(3) = 2 \cdot 4 = 8
\]
4. Conclusão:
\[
f(3) = \boxed{8}
\]
Gabarito: (D) 8
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