Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Problemas com Proporções e Perdas
Enunciado:
Jairo tem muitas cordas com 2 metros cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém uma nova corda com 3 metros e 70 centímetros (3,7 m).
Se ele quiser uma corda com exatamente 20 metros, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada.
Qual é o tamanho, em metros, desse pedaço?
Alternativas:
- (A) 0,95
- (B) 0,70
- (C) 0,45
- (D) 0,30
- (E) 0,15
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1. Entendendo a perda:
Duas cordas de 2 metros somam 4 metros. Ao serem amarradas, resultam em 3,7 metros. Isso significa uma perda de 0,3 m por nó.
2. Planejando o total de cordas:
Se ele deseja obter 20 metros, precisamos descobrir quantas emendas (nós) serão feitas.
Cada novo segmento (depois de 1) exige um nó.
3. Modelando o problema:
- Se ele usa 2 cordas → 1 nó → 3,7 m
- Se usa 4 cordas → 3 nós → perda de 0,3 × 3 = 0,9 m
- Com \( n \) cordas, ele terá \( n – 1 \) nós
- Então o comprimento final é: \[ 2n – 0{,}3(n – 1) \]
4. Encontrando o menor n tal que comprimento ≥ 20 m:
\[ L = 2n – 0{,}3(n – 1) = \] \[ 2n – 0{,}3n + 0{,}3 = \] \[ 1{,}7n + 0{,}3 \]
Queremos: \( 1{,}7n + 0{,}3 \ge 20 \)
\[ 1{,}7n \ge 19{,}7 \Rightarrow \] \[ n \ge \frac{19{,}7}{1{,}7} \approx 11{,}59 \Rightarrow \] \[ n = 12 \]
5. Com 12 cordas:
- 11 nós
- Perda total = \( 0{,}3 \times 11 = 3{,}3 \, m \)
- Comprimento total = \( 12 \times 2 – 3{,}3 = 24 – 3{,}3 = 20{,}7 \, m \)
6. Excedente:
\[ 20{,}7 – 20 = \boxed{0{,}7} \, m \]
Resposta: Jairo precisará cortar 0,70 metros da última corda.
Gabarito: (B) 0,70
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