Questão 11: Equação Exponencial – UEL-PR
Questão 11. (UEL-PR) Se o número real \( k \) satisfaz a equação:
$$ 3^{2k} – 4 \cdot 3^k + 3 = 0 $$
então \( k^2 \) é igual a:
- a) 0 ou \( \frac{1}{2} \)
- b) 0 ou 1
- c) \( \frac{1}{2} \) ou 1
- d) 1 ou 2
- e) 1 ou 3
🔍 Ver solução passo a passo
Transformando a equação:
Note que \( 3^{2k} = (3^k)^2 \). Faça a substituição \( x = 3^k \):
$$ x^2 – 4x + 3 = 0 $$
Resolvendo a equação quadrática:
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $$
Assim, \( x = 1 \) ou \( x = 3 \).
Voltando à substituição \( x = 3^k \), temos:
- Se \( 3^k = 1 \), então \( k = 0 \)
- Se \( 3^k = 3 \), então \( k = 1 \)
Logo, \( k = 0 \) ou \( k = 1 \) → \( k^2 = 0 \) ou \( k^2 = 1 \)
Alternativa correta: b) 0 ou 1
🧠 Mapas Mentais de Matemática
