Questão viral da OBMEP — apenas 10% dos alunos acertaram!
Topa o desafio? Resolva antes de abrir a solução. A questão parece simples, mas exige um truque clássico de aritmética — perfeito para treinar para a OBMEP, ENEM e concursos.
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O enunciado
Qual é o menor número inteiro n > 1 tal que:
- ao dividir n por 2, 3, 4, 5 e 6 o resto é sempre 1;
- e n é múltiplo de 7?
Dica: anote os dados e tente ver um padrão comum às divisões.
💡 Dica 1 (leve)
Se o resto é 1 para 2, 3, 4, 5 e 6, então n − 1 é múltiplo de todos esses números.
💡 Dica 2 (direciona)
Use o MMC de 2, 3, 4, 5 e 6. Se n − 1 é múltiplo do MMC, então n tem a forma MMC × k + 1.
✅ Solução comentada (revele quando terminar)
Se o resto é 1 ao dividir por 2, 3, 4, 5 e 6, então n − 1 é múltiplo de todos esses números. Logo, o MMC(2,3,4,5,6) = 60 e podemos escrever:
Além disso, o enunciado pede que n seja múltiplo de 7. Então queremos um k que faça 60k + 1 ser múltiplo de 7.
Sem usar notação de congruências, observe que 60 está “perto” de 56, que é múltiplo de 7:
Para que 60k + 1 seja múltiplo de 7, a parte (4k + 1) também precisa ser múltipla de 7. Procure o menor k que satisfaça isso:
- k = 1 → 4·1 + 1 = 5 (não é múltiplo de 7)
- k = 2 → 9 (não)
- k = 3 → 13 (não)
- k = 4 → 17 (não)
- k = 5 → 21 (múltiplo de 7)
Assim, k = 5 e:
Checagem: 301 ÷ 7 = 43 (exato). Dividindo 301 por 2, 3, 4, 5 e 6, o resto é 1 em todos os casos.
Resposta: 301.
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Conclusão
A chave do problema foi transformar restos em múltiplos (trocar “resto 1” por “n − 1 múltiplo”) e usar o MMC com um ajuste simples para múltiplo de 7. Esse raciocínio aparece com frequência em provas olímpicas. Pratique 10 minutos por dia e você estará entre os 10% que acertam.
