Razões e Proporções — Guia Completo com Exemplos Resolvidos
Aprenda tudo sobre razões e proporções com explicações passo a passo, fórmulas destacadas e exercícios resolvidos.
1) O que são Razões
Razão é a comparação entre duas grandezas da mesma espécie, expressa por meio de uma divisão:
- Identificar os valores: \(a = 12\), \(b = 8\).
- Montar a razão: \(R = \dfrac{12}{8}\).
- Simplificar a fração: \(\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}\).
2) O que é Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões:
- Calcular produto dos extremos: \(2 \cdot 15 = 30\).
- Calcular produto dos meios: \(5 \cdot 6 = 30\).
- Comparar os produtos: \(30 = 30\).
3) Quantas balas vale um chiclete?
Se 3 chicletes custam o mesmo que 15 balas, quantas balas equivalem a 2 chicletes?
- Montar a proporção: \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{2}{x}\).
- Fazer o produto cruzado: \(3x = 2 \cdot 15\).
- Calcular: \(3x = 30\).
- Isolar \(x\): \(x = 10\).
4) Números diretamente proporcionais
Grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam ou diminuem na mesma razão.
- 5 trabalhadores constroem 20 m de muro.
- Com 8 trabalhadores, montamos: \(\dfrac{5}{20} = \dfrac{8}{x}\).
- Produto cruzado: \(5x = 20 \cdot 8\).
- Calcular: \(5x = 160\).
- Isolar \(x\): \(x = 32\).
5) Números inversamente proporcionais
Grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui, mantendo o produto constante.
- 6 pintores fazem um serviço em 8 dias.
- Com 12 pintores, montamos: \(6 \cdot 8 = 12 \cdot x\).
- Calcular: \(48 = 12x\).
- Isolar \(x\): \(x = 4\).
6) Divisão proporcional
Divida um total \(T\) em partes proporcionais a \(k_1:k_2:k_3\):
- Dividir R$600 em partes \(2:3:5\).
- Somar os pesos: \(2 + 3 + 5 = 10\).
- Calcular valor da “quota”: \(600/10 = 60\).
- Distribuir: \(A = 2 \cdot 60 = 120\), \(B = 3 \cdot 60 = 180\), \(C = 5 \cdot 60 = 300\).
Conclusão
Dominar razões e proporções facilita resolver problemas de matemática no dia a dia, no ENEM e em concursos.
Exercícios Resolvidos — Razões e Proporções
Lista de exercícios com múltipla escolha e soluções passo a passo.
Questão 1
Em uma turma de 30 alunos, há 18 meninas. Qual a razão entre o número de meninas e o número total de alunos?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Identificar os valores: meninas = 18, total = 30.
- Montar a razão: \( R = \dfrac{18}{30} \).
- Simplificar: \( \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5} \).
Questão 2
Se 3 chicletes custam o mesmo que 15 balas, quantas balas equivalem a 5 chicletes?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Montar a proporção: \( \dfrac{3}{15} = \dfrac{5}{x} \).
- Fazer o produto cruzado: \(3x = 5 \cdot 15\).
- Calcular: \(3x = 75\).
- Isolar \(x\): \(x = 25\).
Questão 3
Dois números são diretamente proporcionais. Se o primeiro é 8 quando o segundo vale 12, quanto valerá o primeiro número quando o segundo for 18?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Montar a proporção: \( \dfrac{8}{12} = \dfrac{x}{18} \).
- Fazer o produto cruzado: \(12x = 8 \cdot 18\).
- Calcular: \(12x = 144\).
- Isolar \(x\): \(x = 12\).
Questão 4
Se 6 trabalhadores constroem 48m de muro, quantos metros construirão 9 trabalhadores, mantendo o mesmo ritmo de trabalho?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Montar a proporção: \( \dfrac{6}{48} = \dfrac{9}{x} \).
- Fazer o produto cruzado: \(6x = 9 \cdot 48\).
- Calcular: \(6x = 432\).
- Isolar \(x\): \(x = 72\).
Questão 5
Divida R$ 720 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 7. Quanto receberá a maior parte?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Somar os pesos: \(2 + 3 + 7 = 12\).
- Calcular valor da “quota”: \(720/12 = 60\).
- Maior peso = 7 ⇒ parcela = \(7 \cdot 60 = 420\).
Questão 6
Simplifique a razão \(84:126\).
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Escreva como fração: \( \dfrac{84}{126} \).
- Calcule o MDC(84,126) = 42.
- Divida numerador e denominador por 42: \( \dfrac{84\div42}{126\div42}=\dfrac{2}{3} \).
Veja também: critérios de divisibilidade e frações.
Questão 7
Na proporção \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \), com \(a=7\), \(b=14\) e \(c=9\), determine \(d\).
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Monte a igualdade: \( \dfrac{7}{14}=\dfrac{9}{d} \).
- Simplifique \( \dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2} \).
- Agora \( \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{d} \Rightarrow d=18 \) (produto cruzado).
Aprofunde em regra de três simples e grandezas proporcionais.
Questão 8
Oito operários concluem uma obra em 15 dias. Em quantos dias 12 operários, no mesmo ritmo, farão a obra?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Grandezas inversamente proporcionais (mais operários → menos dias).
- Produto constante: \(8 \cdot 15 = 12 \cdot x\).
- Calcule: \(120 = 12x \Rightarrow x=10\) dias.
Reveja: regra de três composta e grandezas proporcionais.
Questão 9
Reparta R$600 entre três equipes A, B e C inversamente proporcionais aos tempos de execução 4, 6 e 12 dias, respectivamente. Quanto recebe a equipe B?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Inversamente ao tempo ⇒ pesos \( \propto \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{12}\right) \).
- Torne inteiros com MMC(4,6,12)=12 ⇒ pesos equivalentes \( (3,2,1) \).
- Soma dos pesos: \(3+2+1=6\) ⇒ cada “quota” = \(600/6=100\).
- Equipe B (peso 2): \(2 \cdot 100 = \textbf{R$200}\).
Estude também divisão proporcional e porcentagem.
Questão 10
Em uma grade com 4 linhas e 3 colunas, quantos retângulos distintos podem ser formados?
👀 Ver Solução Passo a Passo
- Fórmula: \( \#\text{retângulos}=\dfrac{m(m+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} \).
- Substitua \(m=4\), \(n=3\): \( \dfrac{4\cdot5}{2}\cdot\dfrac{3\cdot4}{2}=10\cdot6=60 \).
Para treinar mais contagem, veja expressões numéricas e banco de questões.
