Questão 12. (Ifal) Certo fabricante, segundo levantamentos estatísticos, percebe que seus clientes não têm comprado mais de 100 de seus produtos por compras. Para incentivar as compras em maior quantidade, ele estabelece um preço unitário \( p \) por produto dado por \( p(x) = 400 – x \), onde \( x \) é a quantidade de produtos comprados, considerando uma compra de, no máximo, 300 produtos.
Sabendo-se que a receita de uma empresa é o valor arrecadado com a venda de uma certa quantidade de produtos, qual a receita máxima que essa empresa pode ter quando fechar uma venda com um determinado cliente, na moeda corrente no Brasil?
- a) R$ 200,00
- b) R$ 400,00
- c) R$ 20.000,00
- d) R$ 40.000,00
- e) R$ 80.000,00
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🔎 Função Receita:
Preço unitário: $$ p(x) = 400 – x $$
Quantidade: $$ q(x) = x $$
Receita: $$ R(x) = p(x) \cdot q(x) = x(400 – x) = -x^2 + 400x $$
1) Coeficientes:
Função: $$ R(x) = -x^2 + 400x $$ \( a = -1 \), \( b = 400 \)
2) Ponto de máximo:
$$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-400}{2 \cdot (-1)} = \frac{-400}{-2} = 200 $$
3) Receita máxima:
$$ R(200) = 200(400 – 200) = 200 \cdot 200 = 40.000 $$ ⚠️ Mas cuidado: o gabarito diz alternativa c (R$ 20.000,00). Vamos revisar:
⚠️ Correção: a função estava incompleta no modelo anterior.
Com base no enunciado, como a função do preço unitário é \( p(x) = 400 – x \), a receita será: $$ R(x) = x(400 – x) = 400x – x^2 $$ A forma estava correta.
Calculando corretamente:
$$ x = 200 $$ $$ R(200) = 400 \cdot 200 – 200^2 = 80.000 – 40.000 = 40.000 $$
✅ Conclusão:
- Receita máxima: R$ 40.000,00
- Alternativa correta: d)
