Potenciação — o essencial com exemplos claros
Potenciação representa multiplicações sucessivas de uma mesma base. Conecte este estudo com Radiciação (resumo completo) para dominar expoentes fracionários e simplificações com raízes.
O que é \(a^n\)?
Para \(n\in\mathbb{N}\), \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{vezes}}\). Casos especiais: \(a^1=a\), \(a^0=1\ (a\neq0)\).
Ex.: \(2^5=32\), \((-3)^4=81\), \((-3)^5=-243\). Expoente par torna positivo; expoente ímpar mantém o sinal de \(a\).
Regras fundamentais
1) Mesma base: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
2) Quociente: \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq0)\)
3) Potência de potência: \((a^m)^n=a^{mn}\)
4) Produto elevado: \((ab)^n=a^n b^n\)
5) Quociente elevado: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\ (b\neq0)\)
6) Expoente negativo: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a\neq0)\)
Dica: conecte com Radiciação para interpretar \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).
\(2^3\cdot2^5=2^{8}=256\)
Mesma base: some os expoentes.
\(5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}\)
Expoente negativo inverte a base.
\((3^2)^4=3^{8}=6561\)
Potência de potência: multiplique os expoentes.
\((-2)^4=16\) (par) | \((-2)^5=-32\) (ímpar)
Par → positivo; ímpar → mantém o sinal.
Potências usuais
| Base | ² | ³ | ⁴ | ⁵ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 |
| 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 |
Erros frequentes
- \(a^m+a^n \neq a^{m+n}\): soma não soma expoentes.
- \((-a)^n \neq -a^n\) quando \(n\) é par (fica positivo).
- \(a^0=1\) para \(a\neq0\); \(0^0\) é indeterminado em contextos avançados.
6 exercícios rápidos
- Simplifique: \(3^4\cdot 3^2\)
- Calcule: \(\dfrac{7^6}{7^2}\)
- Reescreva com expoente positivo: \(4^{-3}\)
- Simplifique: \((5^2)^3\)
- Determine o sinal e valor: \((-2)^7\)
- Transforme: \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=\dfrac{\square}{\square}\)
Mostrar gabarito
1) \(3^{6}=729\).
2) \(7^{4}=2401\).
3) \(\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\).
4) \(5^{6}=15625\).
5) \(-128\) (ímpar mantém o sinal).
6) \(\dfrac{3^4}{5^4}=\dfrac{81}{625}\).
2) \(7^{4}=2401\).
3) \(\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\).
4) \(5^{6}=15625\).
5) \(-128\) (ímpar mantém o sinal).
6) \(\dfrac{3^4}{5^4}=\dfrac{81}{625}\).
