Sequências Especiais — Fibonacci, Recorrências Lineares e Outras Sequências Notáveis
Artigo revisado com conceitos, definições e cálculos conferidos. Integrações com Sequências (guia geral), Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG).
Sequência de Fibonacci — definição, propriedades e cálculos
Definição: \(F_1=1,\ F_2=1\) e, para \(n\ge3\), \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\). Assim, \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots\).
Propriedades fundamentais
- Razões sucessivas: \( \dfrac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \) (razão áurea).
- Soma parcial: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}F_k=F_{n+2}-1\).
- Cassini: \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).
Fórmula de Binet (fechada)
Mini exercícios
M1. Prove que \(\sum_{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1\).
Ver solução
M2. Mostre por indução que \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).
Ver solução
Panorama completo em Sequências (guia geral). Progressões relacionadas: PA e PG.
Sequências Recorrentes Lineares — método da equação característica
Convenção de indexação: usaremos n ≥ 0 quando as condições iniciais forem \(a_0,a_1\) e n ≥ 1 quando forem \(a_1,a_2\), para evitar ambiguidades.
Definição: \((a_n)\) é recorrente linear homogênea de ordem \(k\) se \(a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_ka_{n-k}\) com constantes \(c_i\) e condições iniciais.
Passo a passo
- Suponha \(a_n=\lambda^n\) e substitua na recorrência.
- Obtenha o polinômio característico \(\lambda^k-c_1\lambda^{k-1}-\cdots-c_k=0\).
- Se as raízes são distintas \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\), então \(a_n=A_1\lambda_1^{\,n}+\cdots+A_k\lambda_k^{\,n}\); ajuste \(A_i\) pelas condições iniciais.
- Se houver raiz múltipla, inclua fatores de \(n\) (ex.: \((A+Bn)\lambda^n\)).
Mini exercícios
R1. \(a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}\), \(a_0=2\), \(a_1=4\).
Ver solução
R2. \(a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}\), \(a_0=0\), \(a_1=1\).
Ver solução
Recorrências de 1ª ordem equivalem a PG; veja o resumo em Progressão Geométrica. Já recorrências com soma constante remetem à Progressão Aritmética.
Outras Sequências Numéricas Notáveis — fórmulas e identidades
Números Triangulares \(T_n\)
Definição: \(1,3,6,10,15,\dots\). Fórmula: \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
Números Quadrados \(Q_n\)
Definição: \(1,4,9,16,25,\dots\). Fórmula: \(Q_n=n^2\).
Números Poligonais
Generalização: o \(n\)-ésimo poligonal de \(m\) lados é \(P^{(m)}_n=\dfrac{(m-2)n^2-(m-4)n}{2}\).
Harmônicos Parciais \(H_n\)
\(H_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\) (cresce lentamente; assintótica \(H_n\sim\ln n+\gamma\)).
Aritmético-Geométrica
Produtos do tipo \((an+b)\,q^n\) (modelos com correção linear + juros).
Catalan \(C_n\)
\(1,1,2,5,14,42,\dots\). Fórmula: \(C_n=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\).
Mini exercícios
N1. Prove que \(T_n+T_{n-1}=n^2\).
Ver solução
N2. Mostre que \(C_{n+1}=\dfrac{2(2n+1)}{n+2}C_n\).
Ver solução
Consulte a visão geral de Sequências e, para progressões, veja PA e PG.
Leituras relacionadas (linkagem interna para SEO)
- Sequências — guia geral: definição, representações, exercícios
- Progressão Aritmética (PA) — termo geral, soma e problemas
- Progressão Geométrica (PG) — termo geral, somas e soma infinita
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