Sequências Numéricas: entenda padrões, termo geral, PA e PG (com exercícios resolvidos)
Sequências aparecem o tempo todo em provas: números que crescem, diminuem, alternam sinais, seguem quadrados, potências, padrões em tabelas e até “pegadinhas”. Aqui você vai aprender como identificar o padrão e como montar o termo geral.
1) O que é sequência numérica?
conceitoUma sequência numérica é uma lista ordenada de números, em que cada número ocupa uma posição específica. Em vez de pensar “uma lista qualquer”, pense assim: existe uma regra que permite gerar os termos.
- \(2, 4, 6, 8, 10, \dots\) (pares: soma 2 a cada passo)
- \(1, 4, 9, 16, 25, \dots\) (quadrados perfeitos: \(1^2,2^2,3^2,\dots\))
- \(3, 6, 12, 24, 48, \dots\) (dobrando: multiplica por 2)
2) Notação: \(a_n\), termo inicial e posição
linguagemÉ comum representar uma sequência por \(\{a_n\}\), onde \(a_n\) significa: o termo da posição \(n\).
Se \(\{a_n\}\) é \(5, 8, 11, 14, \dots\), então:
- \(a_1=5\)
- \(a_2=8\)
- \(a_3=11\)
- \(a_4=14\)
Existem duas formas muito comuns de definir uma sequência:
Você calcula direto o termo \(a_n\) pela posição \(n\).
Ex.: \(a_n=2n+1\) gera \(3,5,7,9,\dots\)
Você define um termo inicial e diz como obter o próximo.
Ex.: \(a_1=3\) e \(a_{n}=a_{n-1}+2\) gera \(3,5,7,9,\dots\)
3) Como descobrir o padrão (passo a passo)
métodoQuando uma questão pede “qual é o próximo termo?”, o segredo é seguir uma checklist simples. A maioria das sequências de prova cai em um desses padrões.
- Diferenças: subtraia termos consecutivos. Se der constante, pode ser PA.
- Razões: divida termos consecutivos (quando possível). Se der constante, pode ser PG.
- Alternância: verifique sinais \(+/-\) ou dois padrões intercalados.
- Quadrados/cubos: procure \(1,4,9,16\) (quadrados) ou \(1,8,27\) (cubos).
- Somatório: às vezes cada termo é “a soma de anteriores” (ex.: Fibonacci).
4) PA (Progressão Aritmética): definição, razão e fórmulas
PAUma PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa constante é chamada de razão e é representada por \(r\).
\[ r=a_{n}-a_{n-1} \] Se \(r\) é constante, a sequência é uma PA.
Se \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão: \[ a_n=a_1+(n-1)\,r \]
\[ S_n=\frac{n\,(a_1+a_n)}{2} \]
5) PG (Progressão Geométrica): definição, razão e fórmulas
PGUma PG é uma sequência em que a razão (divisão) entre termos consecutivos é constante. Essa constante é indicada por \(q\).
\[ q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \quad (a_{n-1}\neq 0) \] Se \(q\) é constante, a sequência é uma PG.
\[ a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \]
\[ S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \]
6) Outros padrões comuns em sequências
padrões\(1,4,9,16,25,\dots\) com termo geral \(a_n=n^2\).
\(1,8,27,64,125,\dots\) com termo geral \(a_n=n^3\).
\(1,-1,1,-1,\dots\) com termo geral \(a_n=(-1)^{n-1}\).
Ex.: \(2,100,4,95,6,90,\dots\)
Ímpares: \(2,4,6,\dots\) (PA) • Pares: \(100,95,90,\dots\) (PA).
\(1,1,2,3,5,8,13,\dots\)
Definição: \(a_1=1\), \(a_2=1\) e \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\).
7) Dicas de prova e erros clássicos
atenção8) Exercícios sobre sequências numéricas (com solução em abre/fecha)
treinoEnunciado fora. Solução dentro. Sempre um bloco abaixo do outro.
Exercício 1
Considere a sequência \(3, 7, 11, 15, \dots\). Qual é o termo \(a_{20}\)?
Ver solução passo a passo
1) As diferenças são \(+4, +4, +4\). Logo é uma PA com \(r=4\) e \(a_1=3\).
2) Termo geral: \(a_n=a_1+(n-1)r\).
3) \(a_{20}=3+(20-1)\cdot 4\).
4) \(a_{20}=3+76=79\).
Resposta: \(a_{20}=79\).
Exercício 2
A sequência \(2, 6, 18, 54, \dots\) é uma PG. Determine \(a_8\).
Ver solução passo a passo
1) A razão é \(q=3\) (multiplica por 3).
2) Termo geral: \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\), com \(a_1=2\).
3) \(a_8=2\cdot 3^{7}\).
4) \(3^7=2187\). Então \(a_8=2\cdot 2187=4374\).
Resposta: \(a_8=4374\).
Exercício 3
Determine o próximo termo da sequência \(1, 4, 9, 16, 25, \dots\).
Ver solução passo a passo
1) Note que \(1=1^2\), \(4=2^2\), \(9=3^2\), \(16=4^2\), \(25=5^2\).
2) Logo o próximo é \(6^2=36\).
Resposta: 36.
Exercício 4
Considere a sequência definida por \(a_1=5\) e \(a_n=a_{n-1}+3\). Calcule \(a_{12}\).
Ver solução passo a passo
1) A recorrência soma 3 sempre, então é PA com \(a_1=5\) e \(r=3\).
2) \(a_n=a_1+(n-1)r\).
3) \(a_{12}=5+(12-1)\cdot 3\).
4) \(a_{12}=5+33=38\).
Resposta: \(a_{12}=38\).
Exercício 5
A sequência \(1, -1, 1, -1, 1, \dots\) pode ser representada por um termo geral. Escreva uma fórmula para \(a_n\).
Ver solução passo a passo
1) A sequência alterna sinais e o primeiro termo é positivo.
2) Uma forma padrão é \(a_n=(-1)^{n-1}\).
3) Verificando: \(n=1\Rightarrow (-1)^0=1\). \(n=2\Rightarrow (-1)^1=-1\). Funciona.
Resposta: \(a_n=(-1)^{n-1}\).
9) Próximos passos: como dominar sequências com consistência
estudo- Treine reconhecer padrões (diferenças, razões, alternância).
- Memorize as fórmulas essenciais de PA e PG (termo geral e soma).
- Faça questões misturadas (ENEM/concursos) para ganhar velocidade.
- Escreva o termo geral sempre que puder: isso evita “chutes”.
