Séries de Pagamentos

Guia prático

Séries de Pagamentos

Como calcular valor presente e valor futuro de anuidades (postecipadas e antecipadas), séries diferidas e perpétuas. Conexões com fluxo de caixa, avaliação de investimentos e sistemas de amortização.

Conceitos Classificação Fórmulas Exemplos Erros comuns Exercícios Gabarito

O que é uma série de pagamentos?

Definição

Série de pagamentos é um conjunto de depósitos ou prestações iguais $ (\text{PMT}) $ feitos em intervalos regulares, sujeito a uma taxa efetiva por período $ i $ durante $ n $ períodos. Usamos:

Valor Presente $ (PV) $: quanto vale hoje a série.
Valor Futuro $ (FV) $: quanto valerá ao final.

Para trabalhar com períodos diferentes (mês, ano, trimestre), converta com equivalência de taxas. Se houver inflação, use taxa real.

Classificação das séries

Pelo momento do pagamento

Postecipada (vencida, “anuity immediate”): pagamentos no fim de cada período (1º em $t=1$).
Antecipada (vincenda, “annuity due”): pagamentos no início de cada período (1º em $t=0$).

Pelo horizonte

Temporária: número finito de pagamentos $n$.
Perpétua: número infinito (ex.: bolsas vitalícias). Veja também avaliação de investimentos.

Pelo início

Imediata: começa agora (postecipada em $t=1$ / antecipada em $t=0$).
Diferida: há carência $k$ períodos até o primeiro pagamento efetivo. (Conecte com fluxo de caixa.)

Fórmulas essenciais (taxa composta por período)

Série postecipada (vencida) — PMT no fim

\[ \boxed{PV=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}} \qquad \boxed{FV=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}} \]

Se a taxa informada for a.a. e os pagamentos forem a.m., converta antes: veja equivalência de taxas.

Série antecipada (vincenda) — PMT no início

\[ \boxed{PV_{\text{due}}=PV\cdot(1+i)},\qquad \boxed{FV_{\text{due}}=FV\cdot(1+i)} \] (onde $PV$ e $FV$ são da série postecipada com mesma PMT, $i$ e $n$).

Série diferida (carência $k$ períodos)

Para postecipada diferida (primeiro PMT em $t=k+1$): \[ \boxed{PV_{0}=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)^{-k}} \]

Perpetuidade (postecipada)

Constante: $\displaystyle \boxed{PV=\frac{\text{PMT}}{i}}$.
Crescente a taxa $g$ (com $i>g$): $\displaystyle \boxed{PV=\frac{\text{PMT}_1}{i-g}}$.

Exemplos práticos (passo a passo)

E1. Poupança mensal para comprar um notebook
Dados: PMT = R$ 500 (fim de cada mês), n = 12 meses, i = 1,5% a.m. | Peça: FV e PV.

Ver solução
Série postecipada:
$FV=\text{PMT}\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i} =500\cdot\dfrac{(1{,}015)^{12}-1}{0{,}015} \approx \boxed{\text{R\$}\,6.520{,}61}$.
$PV=\text{PMT}\cdot\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} =500\cdot\dfrac{1-(1{,}015)^{-12}}{0{,}015} \approx \boxed{\text{R\$}\,5.453{,}75}$.
Veja como comparar metas no seu fluxo de caixa.
E2. Aluguel antecipado de espaço de coworking
Dados: PMT = R$ 1.200 (início de cada mês), n = 12, i = 1,4% a.m. | Peça: PV do contrato (série antecipada).

Ver solução
Calcule primeiro a série postecipada e depois ajuste para antecipada:
$PV_{\text{post}}=1200\cdot\dfrac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\approx \text{R\$}\,13.170{,}91$.
$PV_{\text{antecipada}}=PV_{\text{post}}\cdot(1+i) \approx 13.170{,}91\cdot1{,}014 \approx \boxed{\text{R\$}\,13.355{,}30}$.
Relacione com avaliação de investimentos.
E3. Plano diferido para manutenção do carro
Dados: 15 parcelas de R$ 350 (fim de mês), carência k = 3 meses (primeiro PMT em t = 4), i = 1,2% a.m. | Peça: PV hoje.

Ver solução
Série postecipada diferida:
$PV_0=\text{PMT}\cdot\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)^{-k} =350\cdot\dfrac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3} \approx \boxed{\text{R\$}\,4.610{,}52}$.
E4. Perpetuidade para bolsa vitalícia
Dados (caso 1): PMT = R$ 5.000 (fim de mês), i = 0,8% a.m. | Peça: PV. Opcional (caso 2): primeira PMT = R$ 2.000 (mês que vem), crescimento g = 0,3% a.m., i = 1,1% a.m.

Ver solução
Caso 1 — perpétua constante (postecipada): $PV=\dfrac{\text{PMT}}{i}=\dfrac{5000}{0{,}008}=\boxed{\text{R\$}\,625.000{,}00}$.
Caso 2 — perpétua crescente (com $i>g$): $PV=\dfrac{\text{PMT}_1}{i-g} =\dfrac{2000}{0{,}011-0{,}003} =\boxed{\text{R\$}\,250.000{,}00}$.
Revise juros compostos.

Erros comuns (e como evitar)

Comparar parcelas mensais com taxa anual sem converter. Use equivalência de taxas.
Confundir postecipada e antecipada. No início (antecipada) multiplique por $(1+i)$.
Esquecer a carência em séries diferidas. Traga pelo fator $(1+i)^{-k}$.
Aplicar regra linear $1\pm in$ em compostos. Séries usam potências.
Desconsiderar inflação. Para poder de compra, use taxa real.

🧠 Exercícios propostos

Resolva e depois confira no gabarito. Revise juros compostos, equivalência de taxas e fluxo de caixa.

Assinatura de academia (postecipada): mensalidade $\RS\,180$ por 24 meses a $1{,}1\%$ a.m. Qual o $PV$ do contrato?
Meta de viagem (postecipada): depósitos de $\RS\,400$ por 18 meses a $0{,}9\%$ a.m. Calcule o $FV$.
Aluguel antecipado: $\RS\,1.200$ no início de cada mês por 12 meses a $1{,}4\%$ a.m. Determine o $PV$ (série antecipada).
Plano diferido: 15 parcelas de $\RS\,350$ começam em 4 meses ($k=3$), $i=1{,}2\%$ a.m. Ache o $PV_0$.
Fundo trimestral: aporte de $\RS\,2.000$ no fim de cada trimestre por 2 anos a $1{,}5\%$ a.t. Calcule o $FV$.
Perpetuidade: deseja-se pagar $\RS\,5.000$ por mês para sempre; $i=0{,}8\%$ a.m. Qual $PV$?
Perpetuidade crescente: primeira parcela $\RS\,2.000$ (mês que vem), crescimento $g=0{,}3\%$ a.m., $i=1{,}1\%$ a.m. Qual $PV$?
Prestação uniforme (empréstimo): $PV=\RS\,20.000$, $n=18$ meses, $i=1{,}6\%$ a.m. Calcule a PMT postecipada. (conecte com sistemas de amortização).
Sinking fund: quer $FV=\RS\,50.000$ em 24 meses a $1\%$ a.m. Qual a PMT no fim de cada mês?
Clube de férias (antecipada): $\RS\,900$ no início de cada mês por 10 meses, $i=1\%$ a.m. Determine o $FV$ (série antecipada).

📘 Gabarito (clique para ver)

Ver gabarito

$PV=180\cdot\frac{1-(1{,}011)^{-24}}{0{,}011}\approx \boxed{\RS\,3.778{,}67}$.
$FV=400\cdot\frac{(1{,}009)^{18}-1}{0{,}009}\approx \boxed{\RS\,7.778{,}15}$.
$PV_{\text{due}}= \left[1200\cdot\frac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\right]\cdot(1{,}014)\approx \boxed{\RS\,13.355{,}30}$.
$PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx \boxed{\RS\,4.610{,}52}$.
$FV=2000\cdot\frac{(1{,}015)^8-1}{0{,}015}\approx \boxed{\RS\,16.865{,}68}$.
Perpétua: $PV=\dfrac{5000}{0{,}008}=\boxed{\RS\,625.000{,}00}$.
Perpétua crescente: $PV=\dfrac{2000}{0{,}011-0{,}003}=\boxed{\RS\,250.000{,}00}$.
$\text{PMT}=PV\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}=20000\cdot\dfrac{0{,}016}{1-(1{,}016)^{-18}}\approx \boxed{\RS\,1.287{,}59}$. (Relacionar com tabelas Price/SAC.)
$\text{PMT}=FV\cdot\dfrac{i}{(1+i)^n-1}=50000\cdot\dfrac{0{,}01}{(1{,}01)^{24}-1}\approx \boxed{\RS\,1.853{,}67}$.
$FV_{\text{due}}=900\cdot\frac{(1{,}01)^{10}-1}{0{,}01}\cdot(1{,}01)\approx \boxed{\RS\,9.510{,}15}$.

Arredondamento: moeda com 2 casas; taxas por período em decimal. Para converter taxas, use equivalência de taxas.

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🎯 Quiz — Séries de Pagamentos (situações reais)

Cada questão traz um mini-caso. Escolha a alternativa correta e clique em Conferir. Abra Ver solução para o passo a passo.

Q1. Caixinha do notebook — Você decide guardar R$ 500 no fim de cada mês durante 12 meses em uma conta que rende 1,5% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual será o valor futuro acumulado ao final dos 12 meses?
a) R$ 6.480,00 b) R$ 6.520,61 c) R$ 6.600,00 d) R$ 6.450,30

solução
$FV=500\cdot\frac{(1{,}015)^{12}-1}{0{,}015}\approx\boxed{\RS\,6.520{,}61}$.
Q2. Meta de viagem — Você deposita R$ 400 no fim de cada mês por 18 meses em um fundo a 0,9% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual será o valor futuro no mês 18?
a) R$ 7.720,00 b) R$ 7.800,00 c) R$ 7.778,15 d) R$ 7.650,30

solução
$FV=400\cdot\frac{(1{,}009)^{18}-1}{0{,}009}\approx\boxed{\RS\,7.778{,}15}$.
Q3. Aluguel com pagamento adiantado — Um espaço de coworking cobra R$ 1.200 no início de cada mês por 12 meses, com taxa 1,4% a.m.
Pergunta: qual é o valor presente do contrato (série antecipada)?
a) R$ 13.170,91 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.280,50 d) R$ 13.355,30

solução
$PV_{\text{post}}=1200\cdot\frac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\approx 13.170{,}91$. $PV_{\text{antecipada}}=PV_{\text{post}}\cdot(1{,}014)\approx\boxed{\RS\,13.355{,}30}$.
Q4. Plano de manutenção do carro — O plano inicia daqui a 4 meses e prevê 15 parcelas de R$ 350 no fim de cada mês; taxa 1,2% a.m. (postecip. diferida com carência $k=3$).
Pergunta: qual é o valor presente hoje?
a) R$ 4.540,00 b) R$ 4.610,52 c) R$ 4.680,00 d) R$ 4.720,15

solução
$PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx\boxed{\RS\,4.610{,}52}$.
Q5. Reserva para pós-graduação — Você planeja investir R$ 2.000 ao fim de cada trimestre por 2 anos (8 trimestres) a 1,5% a.t.
Pergunta: qual será o valor futuro ao final do 8º trimestre?
a) R$ 16.700,00 b) R$ 16.820,00 c) R$ 16.865,68 d) R$ 16.900,00

solução
$FV=2000\cdot\frac{(1{,}015)^8-1}{0{,}015}\approx\boxed{\RS\,16.865{,}68}$.
Q6. Bolsa vitalícia — Uma fundação deseja pagar R$ 5.000/mês para sempre, com taxa 0,8% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual deve ser o capital hoje para sustentar esse benefício?
a) R$ 625.000,00 b) R$ 600.000,00 c) R$ 640.000,00 d) R$ 612.500,00

solução
$PV=\frac{5000}{0{,}008}=\boxed{\RS\,625.000{,}00}$.
Q7. Fundo de bolsas com reajuste automático — O primeiro pagamento será de R$ 2.000 no mês que vem, com reajuste de 0,3% a.m. e taxa de retorno 1,1% a.m.
Pergunta: qual o valor presente dessa perpétua crescente?
a) R$ 222.222,22 b) R$ 240.000,00 c) R$ 255.000,00 d) R$ 250.000,00

solução
$PV=\frac{2000}{0{,}011-0{,}003}=\boxed{\RS\,250.000{,}00}$ $(i>g)$.
Q8. Troca de equipamentos — Sua empresa quer ter R$ 50.000 em 24 meses para renovar máquinas. A reserva rende 1% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual deve ser a PMT mensal?
a) R$ 1.820,00 b) R$ 1.900,00 c) R$ 1.853,67 d) R$ 1.780,00

solução
$\text{PMT}=50000\cdot\frac{0{,}01}{(1{,}01)^{24}-1}\approx\boxed{\RS\,1.853{,}67}$.
Q9. Financiamento de equipamento — Você toma um empréstimo de R$ 20.000 a 1,6% a.m., com 18 parcelas mensais (postec.).
Pergunta: qual é a prestação mensal (PMT)?
a) R$ 1.250,00 b) R$ 1.287,59 c) R$ 1.320,00 d) R$ 1.210,00

solução
$\text{PMT}=20000\cdot\frac{0{,}016}{1-(1{,}016)^{-18}}\approx\boxed{\RS\,1.287{,}59}$.
Q10. Entendendo o momento do pagamento — Você compara dois contratos idênticos em taxa e prazo, mudando apenas o momento do pagamento: um paga no fim do período e o outro no início.
Pergunta: qual afirmação está correta?
a) Série postecipada começa em $t=0$. b) Em série antecipada multiplica-se o PV por $(1+i)^{-1}$. c) Série antecipada obtém-se multiplicando a postecipada por $(1+i)$. d) Perpétua constante tem $PV=\text{PMT}\cdot i$.

solução
Correta: $\boxed{\text{c}}$. Postecipada paga a partir de $t=1$; antecipada a partir de $t=0$.

Placar: 0/10

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.