Guia prático
Sistemas de Amortização
Como funcionam Price (tabela Price), SAC e uma visão simplificada do SACRE. Fórmulas, passo a passo, comparação de parcelas, juros totais e exercícios resolvidos. Conexões com séries de pagamentos, equivalência de taxas, avaliação de investimentos e fluxo de caixa.
O que é amortização?
Definição
Amortizar é reduzir a dívida ao longo do tempo por meio de pagamentos periódicos. Em cada parcela:
- Juros \(J_t=i\cdot SD_{t-1}\) sobre o saldo devedor anterior;
- Amortização \(A_t=\text{PMT}_t – J_t\);
- Saldo \(SD_t=SD_{t-1}-A_t\).
Sistema Price (prestações iguais)
Parcela (PMT) e relações
\[
\boxed{\text{PMT} = PV\cdot
\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}}
\qquad
\boxed{J_t=i\cdot SD_{t-1}},\quad
\boxed{A_t=\text{PMT}-J_t},\quad
\boxed{SD_t=SD_{t-1}-A_t}
\]
É uma série postecipada uniforme. Revise:
séries de pagamentos e
juros compostos.
Intuição: a parcela é fixa; no início, há mais juros e pouca amortização; ao final, ocorre o inverso.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
Fórmulas
\[
\boxed{A=\frac{PV}{n}},\qquad
\boxed{J_t=i\cdot SD_{t-1}},\qquad
\boxed{\text{PMT}_t=A+J_t}
\]
Como \(A\) é constante, as parcelas diminuem ao longo do tempo.
Propriedade útil: a soma dos juros no SAC é
\(\displaystyle \sum J_t = i\cdot \underbrace{\left(PV+\cdots+SD_{n-1}\right)}_{\text{soma dos saldos}}\).
Para o caso padrão (sem correção), vale:
\[
\sum J_t = i\cdot PV\cdot \frac{n+1}{2}.
\]
SACRE (visão simplificada)
Ideia geral
No Brasil, o SACRE combina ideia de amortização crescente com recalibração periódica do encargo,
geralmente indexada (ex.: TR). Para fins didáticos, pense como um SAC em que a prestação é reavaliada em
marcos definidos. Para simulações oficiais, use as regras do contrato e a legislação vigente.
Quando escolher cada sistema?
- Price: quer parcela fixa (previsibilidade de caixa). Juros totais tendem a ser maiores que no SAC para mesmo \(PV,i,n\). Conecte com fluxo de caixa.
- SAC: aceita parcelas decrescentes. Bom para reduzir endividamento mais rápido e pagar menos juros totais.
- SACRE: comum em financiamentos imobiliários indexados; avalie com avaliação de investimentos e taxa real.
Tabelas de Amortização — Price e SAC
Preencha os dados e clique em Gerar tabela. As colunas mostram, para cada período \(t\): parcela (PMT), juros \(J_t=i\cdot SD_{t-1}\), amortização \(A_t=\text{PMT}-J_t\) e saldo devedor \(SD_t=SD_{t-1}-A_t\).
Price (prestações iguais)
Fórmula da parcela: \(\displaystyle \text{PMT}=PV\cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}\) (série postecipada). Revise: séries de pagamentos e juros compostos.
SAC (amortização constante)
Amortização: \(\displaystyle A=\frac{PV}{n}\) (constante). Parcela: \(\text{PMT}_t=A+i\cdot SD_{t-1}\), decrescendo ao longo do tempo. Compare o fluxo com fluxo de caixa e avaliação de investimentos.
Exemplos passo a passo
-
E1. Financiamento de bicicleta elétrica — A loja oferece financiamento de R$ 10.000 em 12 meses, com taxa de 1% a.m. no sistema Price (pagamento no fim de cada mês).
Pergunta: qual é o valor da parcela mensal (PMT)?Ver solução
\(PV=\RS\,10.000,\ i=1\%\ a.m.,\ n=12.\) \[ \text{PMT}=10000\cdot\dfrac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1} \approx 10000\cdot\dfrac{0{,}011268}{0{,}126825} \approx \boxed{\RS\,888{,}49}. \] Base: série postecipada uniforme. Veja séries de pagamentos. -
E2. Computador no SAC — Você pega um empréstimo de R$ 12.000 a 1% a.m. por 12 meses no sistema SAC.
Pergunta: quais são a 1ª parcela e a 12ª parcela?Ver solução
\(PV=\RS\,12.000,\ i=1\%\ a.m.,\ n=12.\) Amortização constante: \(A=\dfrac{12000}{12}=\RS\,1.000.\) \(\text{PMT}_1=A+i\cdot PV=1000+0{,}01\cdot12000=\boxed{\RS\,1.120}.\) \(\text{PMT}_{12}=A+i\cdot SD_{11}=1000+0{,}01\cdot1000=\boxed{\RS\,1.010}.\) -
E3. Curso de pós financiado — Para pagar a matrícula e material, você toma R$ 5.000 a 2% a.m. em 6 meses, no sistema Price.
Pergunta: qual é a PMT e como ficam as 3 primeiras linhas do quadro (juros, amortização, saldo)?Ver solução
\(PV=\RS\,5.000,\ i=2\%\ a.m.,\ n=6.\) \(\text{PMT}\approx \boxed{\RS\,892{,}63}.\) 1ª parcela: \(J_1=100{,}00,\ A_1=792{,}63,\ SD_1=4.207{,}37.\) 2ª parcela: \(J_2=84{,}15,\ A_2=808{,}48,\ SD_2=3.398{,}89.\) 3ª parcela: \(J_3=67{,}98,\ A_3=824{,}65,\ SD_3=2.574{,}24.\) -
E4. Reforma do apartamento no SAC — Um banco oferece R$ 15.000 por 10 meses a 1,5% a.m. no sistema SAC.
Pergunta: qual é a soma dos juros pagos no contrato?Ver solução
\(PV=\RS\,15.000,\ i=1{,}5\%\ a.m.,\ n=10.\) No SAC (sem correção), \(\displaystyle \sum J_t=i\cdot PV\cdot\dfrac{n+1}{2}\). \(\sum J_t=0{,}015\cdot15000\cdot\dfrac{11}{2} =225\cdot5{,}5=\boxed{\RS\,1.237{,}50}.\)
Erros comuns (e como evitar)
- Confundir taxa nominal e efetiva. Use equivalência de taxas.
- Esquecer que Price é série postecipada. A fórmula da PMT vem de séries.
- Comparar sistemas sem olhar o fluxo total de caixa. Veja fluxo de caixa e avaliação de investimentos.
- Aplicar regra linear de juros simples. Amortização usa capitalização composta (rever juros compostos e juros simples).
- Ignorar descontos. Em renegociação, compare com descontos simples e descontos compostos.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito. Se precisar, revise: séries de pagamentos, equivalência de taxas e juros compostos.
- 1. Notebook parcelado (Price): Você financia R$ 10.000 por 12 meses a 1% a.m. no sistema Price. Pergunta: qual é a PMT?
- 2. Smartphone no SAC: Empréstimo de R$ 12.000 por 12 meses a 1% a.m. (SAC). Pergunta: calcule a 1ª e a 12ª parcela.
- 3. Curso técnico financiado (Price): Empréstimo de R$ 5.000 por 6 meses a 2% a.m. (Price). Pergunta: determine a PMT e os três primeiros pares \((J_t,A_t)\).
- 4. Reforma no SAC: Crédito de R$ 15.000 por 10 meses a 1,5% a.m. (SAC). Pergunta: qual é a soma dos juros do contrato?
- 5. Comparação Price × SAC: Para R$ 12.000, 1% a.m., 12 meses, compare a PMT do Price com a 1ª parcela do SAC. Pergunta: qual é maior e por quê?
- 6. Descobrir o valor financiado (Price): Você sabe a parcela: PMT = R$ 1.000, com 1% a.m. por 18 meses (Price). Pergunta: qual é o PV (valor financiado)?
- 7. Parcela intermediária no SAC: Empréstimo de R$ 9.000 por 9 meses a 2% a.m. (SAC). Pergunta: qual é a 5ª parcela?
- 8. Custo total (Price): Com os dados do exercício 1 (Price), Pergunta: qual é o total pago e os juros totais?
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- \( \text{PMT}=\boxed{\RS\,888{,}49}. \)
- \( A=\RS\,1.000 \Rightarrow \text{PMT}_1=\boxed{\RS\,1.120},\ \text{PMT}_{12}=\boxed{\RS\,1.010}. \)
- \( \text{PMT}\approx \boxed{\RS\,892{,}63};\ (J_1,A_1)=(100{,}00;\,792{,}63),\ (J_2,A_2)=(84{,}15;\,808{,}48),\ (J_3,A_3)=(67{,}98;\,824{,}65). \)
- \( \sum J_t=0{,}015\cdot15000\cdot\dfrac{11}{2}=\boxed{\RS\,1.237{,}50}. \)
- \( \text{PMT}_{\text{Price}}=12000\cdot\dfrac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1}\approx\boxed{\RS\,1.066{,}19};\ \text{PMT}_1^{\text{SAC}}=\boxed{\RS\,1.120}. \)
- \( PV=\text{PMT}\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n} =1000\cdot\dfrac{(1{,}01)^{18}-1}{0{,}01(1{,}01)^{18}} \approx \boxed{\RS\,16.398{,}27}. \)
- \( A=\dfrac{9000}{9}=1000;\ SD_4=9000-4\cdot1000=5000;\ J_5=0{,}02\cdot5000=100;\ \text{PMT}_5=\boxed{\RS\,1.100}. \)
- Total pago \(=12\cdot 888{,}49=\boxed{\RS\,10.661{,}88}\Rightarrow\) juros \(=\boxed{\RS\,661{,}88}. \)
Arredondamento monetário com 2 casas. Para converter periodicidades, consulte equivalência de taxas.
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🎯 Quiz — Sistemas de Amortização
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Q1. Bicicleta elétrica (Price) — Financiamento de R$ 10.000 em 12 meses, a 1% a.m., parcelas no fim do mês (Price).
Pergunta: qual é a parcela mensal (PMT)?solução
\( \text{PMT}=10000\cdot\frac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1}\approx \boxed{\RS\,888{,}49}. \) -
Q2. Smartphone (SAC) — Empréstimo de R$ 12.000, 1% a.m., 12 meses, SAC.
Pergunta: qual par (1ª parcela; 12ª parcela) está correto?solução
\(A=12000/12=1000\). \( \text{PMT}_1=1000+0{,}01\cdot12000= \boxed{\RS\,1.120}\). \(SD_{11}=1000 \Rightarrow \text{PMT}_{12}=1000+0{,}01\cdot1000=\boxed{\RS\,1.010}\). -
Q3. Descobrir o valor financiado (Price) — Você paga PMT=R$ 1.000 por 18 meses, a 1% a.m. (Price).
Pergunta: qual é o PV financiado?solução
\(PV=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}=1000\cdot\frac{(1{,}01)^{18}-1}{0{,}01(1{,}01)^{18}}\approx \boxed{\RS\,16.398{,}27}.\) -
Q4. Pós-graduação (Price) — Empréstimo de R$ 5.000 por 6 meses a 2% a.m. (Price).
Pergunta: qual é o saldo devedor após a 1ª parcela?solução
PMT ≈ 892,63; \(J_1=0{,}02\cdot5000=100\Rightarrow A_1=792{,}63\). \(SD_1=5000-792{,}63=\boxed{\RS\,4.207{,}37}\). -
Q5. Reforma (SAC) — Crédito de R$ 15.000, 10 meses, 1,5% a.m. (SAC).
Pergunta: qual é a soma dos juros do contrato?solução
\( \sum J_t = i\cdot PV\cdot\frac{n+1}{2}=0{,}015\cdot15000\cdot\frac{11}{2}=\boxed{\RS\,1.237{,}50}.\) -
Q6. Conceito — Sobre séries de pagamentos, assinale a correta.
solução
Correta: \( \boxed{\text{c}} \). Postecipada paga a partir de \(t=1\); antecipada a partir de \(t=0\). -
Q7. Comparação direta — Para \(PV=R\$12.000\), \(i=1\%\ a.m.\), \(n=12\):
Price: \(\text{PMT}\approx \RS\,1.066{,}19\). SAC: \( \text{PMT}_1 = \RS\,1.120 \).
Pergunta: qual é maior e por quê?solução
Correta: \( \boxed{\text{b}} \). No SAC, a 1ª parcela é mais alta e vai caindo; no Price ela é fixa (menor que esse pico). -
Q8. Parcela intermediária (SAC) — Empréstimo de R$ 9.000 por 9 meses a 2% a.m. (SAC).
Pergunta: qual é a 5ª parcela?solução
\(A=9000/9=1000\). \(SD_4=9000-4\cdot1000=5000\). \(J_5=0{,}02\cdot5000=100\). \(\text{PMT}_5=1000+100=\boxed{\RS\,1.100{,}00}\). -
Q9. SACRE — Assinale a alternativa correta.
solução
Correta: \( \boxed{\text{d}} \). Em termos práticos, há reavaliações periódicas do encargo conforme indexador/contrato. -
Q10. Plano de manutenção (carência) — Daqui a 4 meses inicia uma série de 15 parcelas de R$ 350 (pagas ao fim de cada mês), taxa 1,2% a.m.
Pergunta: qual é o valor presente hoje (série postecipada diferida com carência \(k=3\))?solução
\(PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx \boxed{\RS\,4.610{,}52}\).
Placar: 0/10
