Guia prático

Sistemas de Amortização

Como funcionam Price (tabela Price), SAC e uma visão simplificada do SACRE. Fórmulas, passo a passo, comparação de parcelas, juros totais e exercícios resolvidos. Conexões com séries de pagamentos, equivalência de taxas, avaliação de investimentos e fluxo de caixa.

Conceitos Price SAC SACRE (visão) Comparação Exemplos Exercícios Gabarito

O que é amortização?

Definição

Amortizar é reduzir a dívida ao longo do tempo por meio de pagamentos periódicos. Em cada parcela:

Juros $J_t=i\cdot SD_{t-1}$ sobre o saldo devedor anterior;
Amortização $A_t=\text{PMT}_t – J_t$;
Saldo $SD_t=SD_{t-1}-A_t$.

Para taxas e períodos diferentes, converta com equivalência de taxas. Para analisar poder de compra, veja inflação e taxa real.

Sistema Price (prestações iguais)

Parcela (PMT) e relações

\[ \boxed{\text{PMT} = PV\cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}} \qquad \boxed{J_t=i\cdot SD_{t-1}},\quad \boxed{A_t=\text{PMT}-J_t},\quad \boxed{SD_t=SD_{t-1}-A_t} \] É uma série postecipada uniforme. Revise: séries de pagamentos e juros compostos.

Intuição: a parcela é fixa; no início, há mais juros e pouca amortização; ao final, ocorre o inverso.

SAC (Sistema de Amortização Constante)

Fórmulas

\[ \boxed{A=\frac{PV}{n}},\qquad \boxed{J_t=i\cdot SD_{t-1}},\qquad \boxed{\text{PMT}_t=A+J_t} \] Como $A$ é constante, as parcelas diminuem ao longo do tempo.

Propriedade útil: a soma dos juros no SAC é $\displaystyle \sum J_t = i\cdot \underbrace{\left(PV+\cdots+SD_{n-1}\right)}_{\text{soma dos saldos}}$. Para o caso padrão (sem correção), vale: \[ \sum J_t = i\cdot PV\cdot \frac{n+1}{2}. \]

SACRE (visão simplificada)

Ideia geral

No Brasil, o SACRE combina ideia de amortização crescente com recalibração periódica do encargo, geralmente indexada (ex.: TR). Para fins didáticos, pense como um SAC em que a prestação é reavaliada em marcos definidos. Para simulações oficiais, use as regras do contrato e a legislação vigente.

Quando escolher cada sistema?

Price: quer parcela fixa (previsibilidade de caixa). Juros totais tendem a ser maiores que no SAC para mesmo $PV,i,n$. Conecte com fluxo de caixa.
SAC: aceita parcelas decrescentes. Bom para reduzir endividamento mais rápido e pagar menos juros totais.
SACRE: comum em financiamentos imobiliários indexados; avalie com avaliação de investimentos e taxa real.

Tabelas de Amortização — Price e SAC

Preencha os dados e clique em Gerar tabela. As colunas mostram, para cada período $t$: parcela (PMT), juros $J_t=i\cdot SD_{t-1}$, amortização $A_t=\text{PMT}-J_t$ e saldo devedor $SD_t=SD_{t-1}-A_t$.

Price (prestações iguais)

Fórmula da parcela: $\displaystyle \text{PMT}=PV\cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$ (série postecipada). Revise: séries de pagamentos e juros compostos.

SAC (amortização constante)

Amortização: $\displaystyle A=\frac{PV}{n}$ (constante). Parcela: $\text{PMT}_t=A+i\cdot SD_{t-1}$, decrescendo ao longo do tempo. Compare o fluxo com fluxo de caixa e avaliação de investimentos.

Exemplos passo a passo

E1. Financiamento de bicicleta elétrica — A loja oferece financiamento de R$ 10.000 em 12 meses, com taxa de 1% a.m. no sistema Price (pagamento no fim de cada mês).
Pergunta: qual é o valor da parcela mensal (PMT)?

Ver solução
$PV=\RS\,10.000,\ i=1\%\ a.m.,\ n=12.$ \[ \text{PMT}=10000\cdot\dfrac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1} \approx 10000\cdot\dfrac{0{,}011268}{0{,}126825} \approx \boxed{\RS\,888{,}49}. \] Base: série postecipada uniforme. Veja séries de pagamentos.
E2. Computador no SAC — Você pega um empréstimo de R$ 12.000 a 1% a.m. por 12 meses no sistema SAC.
Pergunta: quais são a 1ª parcela e a 12ª parcela?

Ver solução
$PV=\RS\,12.000,\ i=1\%\ a.m.,\ n=12.$ Amortização constante: $A=\dfrac{12000}{12}=\RS\,1.000.$ $\text{PMT}_1=A+i\cdot PV=1000+0{,}01\cdot12000=\boxed{\RS\,1.120}.$ $\text{PMT}_{12}=A+i\cdot SD_{11}=1000+0{,}01\cdot1000=\boxed{\RS\,1.010}.$
E3. Curso de pós financiado — Para pagar a matrícula e material, você toma R$ 5.000 a 2% a.m. em 6 meses, no sistema Price.
Pergunta: qual é a PMT e como ficam as 3 primeiras linhas do quadro (juros, amortização, saldo)?

Ver solução
$PV=\RS\,5.000,\ i=2\%\ a.m.,\ n=6.$ $\text{PMT}\approx \boxed{\RS\,892{,}63}.$ 1ª parcela: $J_1=100{,}00,\ A_1=792{,}63,\ SD_1=4.207{,}37.$ 2ª parcela: $J_2=84{,}15,\ A_2=808{,}48,\ SD_2=3.398{,}89.$ 3ª parcela: $J_3=67{,}98,\ A_3=824{,}65,\ SD_3=2.574{,}24.$
E4. Reforma do apartamento no SAC — Um banco oferece R$ 15.000 por 10 meses a 1,5% a.m. no sistema SAC.
Pergunta: qual é a soma dos juros pagos no contrato?

Ver solução
$PV=\RS\,15.000,\ i=1{,}5\%\ a.m.,\ n=10.$ No SAC (sem correção), $\displaystyle \sum J_t=i\cdot PV\cdot\dfrac{n+1}{2}$. $\sum J_t=0{,}015\cdot15000\cdot\dfrac{11}{2} =225\cdot5{,}5=\boxed{\RS\,1.237{,}50}.$

Erros comuns (e como evitar)

Confundir taxa nominal e efetiva. Use equivalência de taxas.
Esquecer que Price é série postecipada. A fórmula da PMT vem de séries.
Comparar sistemas sem olhar o fluxo total de caixa. Veja fluxo de caixa e avaliação de investimentos.
Aplicar regra linear de juros simples. Amortização usa capitalização composta (rever juros compostos e juros simples).
Ignorar descontos. Em renegociação, compare com descontos simples e descontos compostos.

🧠 Exercícios propostos

Resolva e depois confira no gabarito. Se precisar, revise: séries de pagamentos, equivalência de taxas e juros compostos.

1. Notebook parcelado (Price): Você financia R$ 10.000 por 12 meses a 1% a.m. no sistema Price. Pergunta: qual é a PMT?
2. Smartphone no SAC: Empréstimo de R$ 12.000 por 12 meses a 1% a.m. (SAC). Pergunta: calcule a 1ª e a 12ª parcela.
3. Curso técnico financiado (Price): Empréstimo de R$ 5.000 por 6 meses a 2% a.m. (Price). Pergunta: determine a PMT e os três primeiros pares $(J_t,A_t)$.
4. Reforma no SAC: Crédito de R$ 15.000 por 10 meses a 1,5% a.m. (SAC). Pergunta: qual é a soma dos juros do contrato?
5. Comparação Price × SAC: Para R$ 12.000, 1% a.m., 12 meses, compare a PMT do Price com a 1ª parcela do SAC. Pergunta: qual é maior e por quê?
6. Descobrir o valor financiado (Price): Você sabe a parcela: PMT = R$ 1.000, com 1% a.m. por 18 meses (Price). Pergunta: qual é o PV (valor financiado)?
7. Parcela intermediária no SAC: Empréstimo de R$ 9.000 por 9 meses a 2% a.m. (SAC). Pergunta: qual é a 5ª parcela?
8. Custo total (Price): Com os dados do exercício 1 (Price), Pergunta: qual é o total pago e os juros totais?

📘 Gabarito (clique para ver)

Ver gabarito

$ \text{PMT}=\boxed{\RS\,888{,}49}. $
$ A=\RS\,1.000 \Rightarrow \text{PMT}_1=\boxed{\RS\,1.120},\ \text{PMT}_{12}=\boxed{\RS\,1.010}. $
$ \text{PMT}\approx \boxed{\RS\,892{,}63};\ (J_1,A_1)=(100{,}00;\,792{,}63),\ (J_2,A_2)=(84{,}15;\,808{,}48),\ (J_3,A_3)=(67{,}98;\,824{,}65). $
$ \sum J_t=0{,}015\cdot15000\cdot\dfrac{11}{2}=\boxed{\RS\,1.237{,}50}. $
$ \text{PMT}_{\text{Price}}=12000\cdot\dfrac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1}\approx\boxed{\RS\,1.066{,}19};\ \text{PMT}_1^{\text{SAC}}=\boxed{\RS\,1.120}. $
$ PV=\text{PMT}\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n} =1000\cdot\dfrac{(1{,}01)^{18}-1}{0{,}01(1{,}01)^{18}} \approx \boxed{\RS\,16.398{,}27}. $
$ A=\dfrac{9000}{9}=1000;\ SD_4=9000-4\cdot1000=5000;\ J_5=0{,}02\cdot5000=100;\ \text{PMT}_5=\boxed{\RS\,1.100}. $
Total pago $=12\cdot 888{,}49=\boxed{\RS\,10.661{,}88}\Rightarrow$ juros $=\boxed{\RS\,661{,}88}. $

Arredondamento monetário com 2 casas. Para converter periodicidades, consulte equivalência de taxas.

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🎯 Quiz — Sistemas de Amortização

Responda às 10 questões. Clique em Conferir para checar cada item e em Ver solução para o passo a passo.

Q1. Bicicleta elétrica (Price) — Financiamento de R$ 10.000 em 12 meses, a 1% a.m., parcelas no fim do mês (Price).
Pergunta: qual é a parcela mensal (PMT)?
a) R$ 882,00 b) R$ 888,49 c) R$ 900,00 d) R$ 915,32

solução
$ \text{PMT}=10000\cdot\frac{0{,}01(1{,}01)^{12}}{(1{,}01)^{12}-1}\approx \boxed{\RS\,888{,}49}. $
Q2. Smartphone (SAC) — Empréstimo de R$ 12.000, 1% a.m., 12 meses, SAC.
Pergunta: qual par (1ª parcela; 12ª parcela) está correto?
a) R$ 1.100; R$ 1.000 b) R$ 1.120; R$ 1.020 c) R$ 1.120; R$ 1.010 d) R$ 1.066; R$ 1.120

solução
$A=12000/12=1000$. $ \text{PMT}_1=1000+0{,}01\cdot12000= \boxed{\RS\,1.120}$. $SD_{11}=1000 \Rightarrow \text{PMT}_{12}=1000+0{,}01\cdot1000=\boxed{\RS\,1.010}$.
Q3. Descobrir o valor financiado (Price) — Você paga PMT=R$ 1.000 por 18 meses, a 1% a.m. (Price).
Pergunta: qual é o PV financiado?
a) R$ 15.900,00 b) R$ 16.200,00 c) R$ 16.430,00 d) R$ 16.398,27

solução
$PV=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}=1000\cdot\frac{(1{,}01)^{18}-1}{0{,}01(1{,}01)^{18}}\approx \boxed{\RS\,16.398{,}27}.$
Q4. Pós-graduação (Price) — Empréstimo de R$ 5.000 por 6 meses a 2% a.m. (Price).
Pergunta: qual é o saldo devedor após a 1ª parcela?
a) R$ 4.220,00 b) R$ 4.207,37 c) R$ 4.180,00 d) R$ 4.250,00

solução
PMT ≈ 892,63; $J_1=0{,}02\cdot5000=100\Rightarrow A_1=792{,}63$. $SD_1=5000-792{,}63=\boxed{\RS\,4.207{,}37}$.
Q5. Reforma (SAC) — Crédito de R$ 15.000, 10 meses, 1,5% a.m. (SAC).
Pergunta: qual é a soma dos juros do contrato?
a) R$ 1.237,50 b) R$ 1.125,00 c) R$ 1.350,00 d) R$ 1.275,00

solução
$ \sum J_t = i\cdot PV\cdot\frac{n+1}{2}=0{,}015\cdot15000\cdot\frac{11}{2}=\boxed{\RS\,1.237{,}50}.$
Q6. Conceito — Sobre séries de pagamentos, assinale a correta.
a) Série postecipada começa em $t=0$. b) Série antecipada é a postecipada dividida por $(1+i)$. c) Série antecipada obtém-se multiplicando a postecipada por $(1+i)$. d) Em Price, a amortização é constante.

solução
Correta: $ \boxed{\text{c}} $. Postecipada paga a partir de $t=1$; antecipada a partir de $t=0$.
Q7. Comparação direta — Para $PV=R\$12.000$, $i=1\%\ a.m.$, $n=12$:
Price: $\text{PMT}\approx \RS\,1.066{,}19$. SAC: $ \text{PMT}_1 = \RS\,1.120 $.
Pergunta: qual é maior e por quê?
a) Price é maior, pois juros iniciais são maiores. b) SAC (1ª parcela) é maior; Price fixa a PMT abaixo do pico inicial do SAC. c) São iguais, pois mesma taxa e prazo. d) Depende do arredondamento: qualquer um pode ser maior.

solução
Correta: $ \boxed{\text{b}} $. No SAC, a 1ª parcela é mais alta e vai caindo; no Price ela é fixa (menor que esse pico).
Q8. Parcela intermediária (SAC) — Empréstimo de R$ 9.000 por 9 meses a 2% a.m. (SAC).
Pergunta: qual é a 5ª parcela?
a) R$ 1.100,00 b) R$ 1.120,00 c) R$ 1.080,00 d) R$ 1.060,00

solução
$A=9000/9=1000$. $SD_4=9000-4\cdot1000=5000$. $J_5=0{,}02\cdot5000=100$. $\text{PMT}_5=1000+100=\boxed{\RS\,1.100{,}00}$.
Q9. SACRE — Assinale a alternativa correta.
a) É igual ao Price, mas com taxa simples. b) É um SAC com amortização constante e parcelas constantes. c) É sempre melhor que Price e SAC em juros totais. d) Recalibra periodicamente o encargo (ex.: indexado à TR), combinando ideias de SAC e atualização.

solução
Correta: $ \boxed{\text{d}} $. Em termos práticos, há reavaliações periódicas do encargo conforme indexador/contrato.
Q10. Plano de manutenção (carência) — Daqui a 4 meses inicia uma série de 15 parcelas de R$ 350 (pagas ao fim de cada mês), taxa 1,2% a.m.
Pergunta: qual é o valor presente hoje (série postecipada diferida com carência $k=3$)?
a) R$ 4.540,00 b) R$ 4.610,52 c) R$ 4.680,00 d) R$ 4.720,15

solução
$PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx \boxed{\RS\,4.610{,}52}$.