Guia prático
Séries de Pagamentos
Como calcular valor presente e valor futuro de anuidades (postecipadas e antecipadas), séries diferidas e perpétuas. Conexões com fluxo de caixa, avaliação de investimentos e sistemas de amortização.
O que é uma série de pagamentos?
Definição
Série de pagamentos é um conjunto de depósitos ou prestações iguais \( (\text{PMT}) \) feitos em intervalos regulares,
sujeito a uma taxa efetiva por período \( i \) durante \( n \) períodos. Usamos:
- Valor Presente \( (PV) \): quanto vale hoje a série.
- Valor Futuro \( (FV) \): quanto valerá ao final.
Classificação das séries
Pelo momento do pagamento
- Postecipada (vencida, “anuity immediate”): pagamentos no fim de cada período (1º em \(t=1\)).
- Antecipada (vincenda, “annuity due”): pagamentos no início de cada período (1º em \(t=0\)).
Pelo horizonte
- Temporária: número finito de pagamentos \(n\).
- Perpétua: número infinito (ex.: bolsas vitalícias). Veja também avaliação de investimentos.
Pelo início
- Imediata: começa agora (postecipada em \(t=1\) / antecipada em \(t=0\)).
- Diferida: há carência \(k\) períodos até o primeiro pagamento efetivo. (Conecte com fluxo de caixa.)
Fórmulas essenciais (taxa composta por período)
Série postecipada (vencida) — PMT no fim
\[
\boxed{PV=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}}
\qquad
\boxed{FV=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}}
\]
Se a taxa informada for a.a. e os pagamentos forem a.m., converta antes: veja equivalência de taxas.
Série antecipada (vincenda) — PMT no início
\[
\boxed{PV_{\text{due}}=PV\cdot(1+i)},\qquad
\boxed{FV_{\text{due}}=FV\cdot(1+i)}
\]
(onde \(PV\) e \(FV\) são da série postecipada com mesma PMT, \(i\) e \(n\)).
Série diferida (carência \(k\) períodos)
Para postecipada diferida (primeiro PMT em \(t=k+1\)):
\[
\boxed{PV_{0}=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)^{-k}}
\]
Perpetuidade (postecipada)
- Constante: \(\displaystyle \boxed{PV=\frac{\text{PMT}}{i}}\).
- Crescente a taxa \(g\) (com \(i>g\)): \(\displaystyle \boxed{PV=\frac{\text{PMT}_1}{i-g}}\).
Exemplos práticos (passo a passo)
-
E1. Poupança mensal para comprar um notebook
Dados: PMT = R$ 500 (fim de cada mês), n = 12 meses, i = 1,5% a.m. | Peça: FV e PV.Ver solução
Série postecipada:
\(FV=\text{PMT}\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i} =500\cdot\dfrac{(1{,}015)^{12}-1}{0{,}015} \approx \boxed{\text{R\$}\,6.520{,}61}\).
\(PV=\text{PMT}\cdot\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} =500\cdot\dfrac{1-(1{,}015)^{-12}}{0{,}015} \approx \boxed{\text{R\$}\,5.453{,}75}\).
Veja como comparar metas no seu fluxo de caixa. -
E2. Aluguel antecipado de espaço de coworking
Dados: PMT = R$ 1.200 (início de cada mês), n = 12, i = 1,4% a.m. | Peça: PV do contrato (série antecipada).Ver solução
Calcule primeiro a série postecipada e depois ajuste para antecipada:
\(PV_{\text{post}}=1200\cdot\dfrac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\approx \text{R\$}\,13.170{,}91\).
\(PV_{\text{antecipada}}=PV_{\text{post}}\cdot(1+i) \approx 13.170{,}91\cdot1{,}014 \approx \boxed{\text{R\$}\,13.355{,}30}\).
Relacione com avaliação de investimentos. -
E3. Plano diferido para manutenção do carro
Dados: 15 parcelas de R$ 350 (fim de mês), carência k = 3 meses (primeiro PMT em t = 4), i = 1,2% a.m. | Peça: PV hoje.Ver solução
Série postecipada diferida:
\(PV_0=\text{PMT}\cdot\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)^{-k} =350\cdot\dfrac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3} \approx \boxed{\text{R\$}\,4.610{,}52}\). -
E4. Perpetuidade para bolsa vitalícia
Dados (caso 1): PMT = R$ 5.000 (fim de mês), i = 0,8% a.m. | Peça: PV. Opcional (caso 2): primeira PMT = R$ 2.000 (mês que vem), crescimento g = 0,3% a.m., i = 1,1% a.m.Ver solução
Caso 1 — perpétua constante (postecipada): \(PV=\dfrac{\text{PMT}}{i}=\dfrac{5000}{0{,}008}=\boxed{\text{R\$}\,625.000{,}00}\).
Caso 2 — perpétua crescente (com \(i>g\)): \(PV=\dfrac{\text{PMT}_1}{i-g} =\dfrac{2000}{0{,}011-0{,}003} =\boxed{\text{R\$}\,250.000{,}00}\).
Revise juros compostos.
Erros comuns (e como evitar)
- Comparar parcelas mensais com taxa anual sem converter. Use equivalência de taxas.
- Confundir postecipada e antecipada. No início (antecipada) multiplique por \((1+i)\).
- Esquecer a carência em séries diferidas. Traga pelo fator \((1+i)^{-k}\).
- Aplicar regra linear \(1\pm in\) em compostos. Séries usam potências.
- Desconsiderar inflação. Para poder de compra, use taxa real.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito. Revise juros compostos, equivalência de taxas e fluxo de caixa.
- Assinatura de academia (postecipada): mensalidade \(\RS\,180\) por 24 meses a \(1{,}1\%\) a.m. Qual o \(PV\) do contrato?
- Meta de viagem (postecipada): depósitos de \(\RS\,400\) por 18 meses a \(0{,}9\%\) a.m. Calcule o \(FV\).
- Aluguel antecipado: \(\RS\,1.200\) no início de cada mês por 12 meses a \(1{,}4\%\) a.m. Determine o \(PV\) (série antecipada).
- Plano diferido: 15 parcelas de \(\RS\,350\) começam em 4 meses (\(k=3\)), \(i=1{,}2\%\) a.m. Ache o \(PV_0\).
- Fundo trimestral: aporte de \(\RS\,2.000\) no fim de cada trimestre por 2 anos a \(1{,}5\%\) a.t. Calcule o \(FV\).
- Perpetuidade: deseja-se pagar \(\RS\,5.000\) por mês para sempre; \(i=0{,}8\%\) a.m. Qual \(PV\)?
- Perpetuidade crescente: primeira parcela \(\RS\,2.000\) (mês que vem), crescimento \(g=0{,}3\%\) a.m., \(i=1{,}1\%\) a.m. Qual \(PV\)?
- Prestação uniforme (empréstimo): \(PV=\RS\,20.000\), \(n=18\) meses, \(i=1{,}6\%\) a.m. Calcule a PMT postecipada. (conecte com sistemas de amortização).
- Sinking fund: quer \(FV=\RS\,50.000\) em 24 meses a \(1\%\) a.m. Qual a PMT no fim de cada mês?
- Clube de férias (antecipada): \(\RS\,900\) no início de cada mês por 10 meses, \(i=1\%\) a.m. Determine o \(FV\) (série antecipada).
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- \(PV=180\cdot\frac{1-(1{,}011)^{-24}}{0{,}011}\approx \boxed{\RS\,3.778{,}67}\).
- \(FV=400\cdot\frac{(1{,}009)^{18}-1}{0{,}009}\approx \boxed{\RS\,7.778{,}15}\).
- \(PV_{\text{due}}= \left[1200\cdot\frac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\right]\cdot(1{,}014)\approx \boxed{\RS\,13.355{,}30}\).
- \(PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx \boxed{\RS\,4.610{,}52}\).
- \(FV=2000\cdot\frac{(1{,}015)^8-1}{0{,}015}\approx \boxed{\RS\,16.865{,}68}\).
- Perpétua: \(PV=\dfrac{5000}{0{,}008}=\boxed{\RS\,625.000{,}00}\).
- Perpétua crescente: \(PV=\dfrac{2000}{0{,}011-0{,}003}=\boxed{\RS\,250.000{,}00}\).
- \(\text{PMT}=PV\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}=20000\cdot\dfrac{0{,}016}{1-(1{,}016)^{-18}}\approx \boxed{\RS\,1.287{,}59}\). (Relacionar com tabelas Price/SAC.)
- \(\text{PMT}=FV\cdot\dfrac{i}{(1+i)^n-1}=50000\cdot\dfrac{0{,}01}{(1{,}01)^{24}-1}\approx \boxed{\RS\,1.853{,}67}\).
- \(FV_{\text{due}}=900\cdot\frac{(1{,}01)^{10}-1}{0{,}01}\cdot(1{,}01)\approx \boxed{\RS\,9.510{,}15}\).
Arredondamento: moeda com 2 casas; taxas por período em decimal. Para converter taxas, use equivalência de taxas.
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Cada questão traz um mini-caso. Escolha a alternativa correta e clique em Conferir. Abra Ver solução para o passo a passo.
-
Q1. Caixinha do notebook — Você decide guardar R$ 500 no fim de cada mês durante 12 meses em uma conta que rende 1,5% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual será o valor futuro acumulado ao final dos 12 meses?solução
\(FV=500\cdot\frac{(1{,}015)^{12}-1}{0{,}015}\approx\boxed{\RS\,6.520{,}61}\). -
Q2. Meta de viagem — Você deposita R$ 400 no fim de cada mês por 18 meses em um fundo a 0,9% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual será o valor futuro no mês 18?solução
\(FV=400\cdot\frac{(1{,}009)^{18}-1}{0{,}009}\approx\boxed{\RS\,7.778{,}15}\). -
Q3. Aluguel com pagamento adiantado — Um espaço de coworking cobra R$ 1.200 no início de cada mês por 12 meses, com taxa 1,4% a.m.
Pergunta: qual é o valor presente do contrato (série antecipada)?solução
\(PV_{\text{post}}=1200\cdot\frac{1-(1{,}014)^{-12}}{0{,}014}\approx 13.170{,}91\). \(PV_{\text{antecipada}}=PV_{\text{post}}\cdot(1{,}014)\approx\boxed{\RS\,13.355{,}30}\). -
Q4. Plano de manutenção do carro — O plano inicia daqui a 4 meses e prevê 15 parcelas de R$ 350 no fim de cada mês; taxa 1,2% a.m. (postecip. diferida com carência \(k=3\)).
Pergunta: qual é o valor presente hoje?solução
\(PV_0=350\cdot\frac{1-(1{,}012)^{-15}}{0{,}012}\cdot(1{,}012)^{-3}\approx\boxed{\RS\,4.610{,}52}\). -
Q5. Reserva para pós-graduação — Você planeja investir R$ 2.000 ao fim de cada trimestre por 2 anos (8 trimestres) a 1,5% a.t.
Pergunta: qual será o valor futuro ao final do 8º trimestre?solução
\(FV=2000\cdot\frac{(1{,}015)^8-1}{0{,}015}\approx\boxed{\RS\,16.865{,}68}\). -
Q6. Bolsa vitalícia — Uma fundação deseja pagar R$ 5.000/mês para sempre, com taxa 0,8% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual deve ser o capital hoje para sustentar esse benefício?solução
\(PV=\frac{5000}{0{,}008}=\boxed{\RS\,625.000{,}00}\). -
Q7. Fundo de bolsas com reajuste automático — O primeiro pagamento será de R$ 2.000 no mês que vem, com reajuste de 0,3% a.m. e taxa de retorno 1,1% a.m.
Pergunta: qual o valor presente dessa perpétua crescente?solução
\(PV=\frac{2000}{0{,}011-0{,}003}=\boxed{\RS\,250.000{,}00}\) \((i>g)\). -
Q8. Troca de equipamentos — Sua empresa quer ter R$ 50.000 em 24 meses para renovar máquinas. A reserva rende 1% a.m. (postecipada).
Pergunta: qual deve ser a PMT mensal?solução
\(\text{PMT}=50000\cdot\frac{0{,}01}{(1{,}01)^{24}-1}\approx\boxed{\RS\,1.853{,}67}\). -
Q9. Financiamento de equipamento — Você toma um empréstimo de R$ 20.000 a 1,6% a.m., com 18 parcelas mensais (postec.).
Pergunta: qual é a prestação mensal (PMT)?solução
\(\text{PMT}=20000\cdot\frac{0{,}016}{1-(1{,}016)^{-18}}\approx\boxed{\RS\,1.287{,}59}\). -
Q10. Entendendo o momento do pagamento — Você compara dois contratos idênticos em taxa e prazo, mudando apenas o momento do pagamento: um paga no fim do período e o outro no início.
Pergunta: qual afirmação está correta?solução
Correta: \(\boxed{\text{c}}\). Postecipada paga a partir de \(t=1\); antecipada a partir de \(t=0\).
Placar: 0/10
