14. Sistemas de Numeração
O sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras utilizados para representar números. Existem diversos sistemas de numeração, mas o mais utilizado é o sistema decimal, de base 10. Para concursos, é importante compreender os principais sistemas de numeração, suas características e como converter entre eles.
14.1 O que é um Sistema de Numeração?
Um sistema de numeração organiza os números com base em símbolos e em uma base numérica específica. A base define a quantidade de dígitos ou símbolos disponíveis para representar os números.
Principais sistemas de numeração:
- Decimal (Base 10): Utiliza os dígitos de 0 a 9.
- Binário (Base 2): Utiliza os dígitos 0 e 1.
- Octal (Base 8): Utiliza os dígitos de 0 a 7.
- Hexadecimal (Base 16): Utiliza os dígitos de 0 a 9 e as letras A, B, C, D, E e F.
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14.2 Sistema Decimal (Base 10)
O sistema decimal é o mais utilizado no cotidiano e utiliza 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Cada posição de um número no sistema decimal tem um valor posicional baseado em potências de 10.
Exemplo:
O número 3.472 no sistema decimal pode ser decomposto em:
3.472 = 3×103 + 4×102 + 7×101 + 2×100
14.3 Sistema Binário (Base 2)
O sistema binário é utilizado em eletrônica e computação, pois opera com dois dígitos: 00 e 11. Cada posição em um número binário representa uma potência de 2.
Exemplo de representação em binário:
O número 10111011 em binário equivale a:
1011 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
1011binário = 8+0+2+1 = 11decimal
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14.4 Sistema Octal (Base 8)
O sistema octal utiliza 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cada posição em um número octal representa uma potência de 8.
Exemplo:
O número 157 em octal equivale a:
157 = 1×82 + 5×81 + 7×80
157octal = 64 + 40 + 7 =111decimal
14.5 Sistema Hexadecimal (Base 16)
O sistema hexadecimal utiliza 16 símbolos: os dígitos 00 a 99 e as letras A, B, C, D, E, F, onde:
- A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Cada posição em um número hexadecimal representa uma potência de 16.
Exemplo:
O número 2F em hexadecimal equivale a:
2F = 2×161 + 15×160
2Fhex = 32+15 = 47decimal
14.6 Conversão Entre Sistemas de Numeração
1. Decimal para Binário
Divida o número decimal por 2, anotando o quociente e o resto até que o quociente seja zero. O número binário é obtido pelos restos lidos de baixo para cima.
Exemplo:
Converter 13 em decimal para binário:
13÷2 = 6 (resto1), 6÷2 = 3 (resto0), 3÷2 = 1 (resto1), 1÷2 = 0 (resto1)
Lendo os restos de baixo para cima: 1101
Resposta: 13decimal = 1101binário
2. Binário para Decimal
Multiplique cada dígito binário pela potência de 2 correspondente e some os valores.
Exemplo:
Converter 1011 para decimal:
1011 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
1011 = 8+0+2+1 = 11
Resposta: 1011binário = 11decimal
3. Decimal para Octal
Divida o número decimal por 8, anotando os restos até que o quociente seja zero. Os restos, lidos de baixo para cima, formam o número octal.
Exemplo:
Converter 65 para octal:
65÷8 = 8 (resto1), 8÷8 = 1 (resto0), 1÷8 = 0 (resto1)
Lendo de baixo para cima: 101.
Resposta: 65decimal = 101octal
4. Decimal para Hexadecimal
Divida o número decimal por 16 e converta os restos para os símbolos hexadecimais.
Exemplo:
Converter 47 para hexadecimal:
47÷16 = 2 (resto15)
O resto 1515 corresponde à letra F. Lendo de baixo para cima: 2F.
Resposta: 47decimal = 2Fhexadecimal
14.7 Exercício Prático
1. Converta os números abaixo para o sistema solicitado:
- 25 (decimal) para binário.
- 100 (decimal) para octal.
- 255 (decimal) para hexadecimal.
Resolução:
- 25÷2 = 11001binário
- 100÷8 = 144octal
- 255÷16 = FFhexadecimal
Conclusão
Os sistemas de numeração são fundamentais para o estudo do raciocínio lógico e da computação dentro da Matemática. Saber converter números entre sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal é uma habilidade essencial para resolver questões de concursos com eficiência. A prática é a chave para dominar as conversões e aplicações desses sistemas.
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