Sistemas Lineares — Definições e Conceitos

Sistemas Lineares — Definições, Conceitos e Exercícios

O que são sistemas lineares

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Linearidade significa que cada equação é combinação linear das variáveis (sem potências, produtos entre variáveis ou funções não lineares).

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

Classificação quanto às soluções:

SPD (possível determinado): existe uma única solução.
SPI (possível indeterminado): existem infinitas soluções.
SI (impossível): não existe solução.

Para técnicas de resolução e exemplos, veja o Guia de Métodos (substituição, adição, Cramer e Gauss).

Equações lineares e suas representações

Forma algébrica

Uma equação linear em \(n\) variáveis é \(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\). Um sistema linear é um conjunto dessas equações escritas simultaneamente.

Forma matricial

\[ A\mathbf{x}=\mathbf{b},\qquad A\in\mathbb{R}^{m\times n},\ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n},\ \mathbf{b}\in\mathbb{R}^{m}. \] \[ \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}}_{\text{matriz dos coeficientes }A}\, \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}}_{\text{vetor incógnita }\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{bmatrix}}_{\text{vetor termo independente }\mathbf{b}}. \]

Matriz aumentada

\[ [A\,|\,\mathbf{b}]= \left[\begin{array}{ccc|c} a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ \vdots &\ddots&\vdots &\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{array}\right]. \]

A forma matricial facilita o uso de Cramer e escalonamento de Gauss.

Número de variáveis e equações

Seja \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\). O posto (ou rank) \(r=\operatorname{rg}(A)\) mede a quantidade de linhas/colunas linearmente independentes de \(A\).

Compatibilidade (existência de solução): o sistema é compatível sse \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}([A|\mathbf{b}]) \). Se os postos diferem, é SI.
Unicidade: sendo compatível, há solução única sse \(r=n\) (todas as variáveis são determinadas).
Graus de liberdade: se compatível e \(rSPI.

Exemplo 2×2 \(\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}\) tem \(\Delta=0\) e é compatível ⇒ infinitas soluções (equações proporcionais). Conjunto solução: reta \(x+2y=4\).

Exemplo 3×3 — contagem de parâmetros Se \(r=2\) e \(n=3\): sendo compatível, há \(3-2=1\) parâmetro livre ⇒ conjunto solução 1D (reta) em \(\mathbb{R}^3\).

Para bases de álgebra e geometria analítica, consulte Função Afim e Números Reais.

Espaço de soluções

Se \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) é compatível, o conjunto de soluções é um conjunto afim (transladação de um subespaço). Para o sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), o conjunto de soluções é um subespaço vetorial com dimensão \(n-\operatorname{rg}(A)\).

Decomposição: solução particular + núcleo

\[ \text{Se }\mathbf{x}_p\text{ é solução de }A\mathbf{x}=\mathbf{b},\ \text{então } \mathcal{S}=\{\mathbf{x}_p+\mathbf{v}:\ \mathbf{v}\in\ker(A)\}. \]

Exemplo com parametrização

Sistema: \(\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}\). Tomando \(y=t\), então \(x=2-t\). Espaço de soluções: \(\{(2-t,\ t): t\in\mathbb{R}\}\) — uma reta no plano.

Veja o espaço de soluções emergir via Gauss no escalonamento passo a passo.

Exercícios — Definições e Conceitos (com soluções)

Tente resolver e depois abra “Ver solução”. Se precisar, revise o Guia de Métodos.

1) Classificação (2×2)

\(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\)

a) Classifique (SPD, SPI, SI). b) Descreva o conjunto solução.

Ver solução

a) **SPI** (equações proporcionais).
b) \(x=4-2t,\ y=t,\ t\in\mathbb{R}\).

2) Solução direta (2×2)

\(\begin{cases}2x+3y=12\\4x-3y=6\end{cases}\)

Ver solução

Somando: \(6x=18\Rightarrow x=3\). Depois, \(2(3)+3y=12\Rightarrow y=2\).
Resposta: \((x,y)=(3,2)\) (SPD).

3) Compatibilidade por inspeção (2×2)

\(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=7\end{cases}\)

Ver solução

Lados esquerdos proporcionais, termos independentes não ⇒ **SI**.

4) Forma matricial

Escreva \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) para \(\begin{cases}3x-y+2z=7\\4y-z=1\\5x+z=9\end{cases}\).

Ver solução

\(A=\begin{bmatrix}3&-1&2\\0&4&-1\\5&0&1\end{bmatrix},\ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\ \mathbf{b}=\begin{bmatrix}7\\1\\9\end{bmatrix}.\)

5) Matriz aumentada + passo de Gauss

Para o sistema do exercício 4, escreva \([A\,|\,\mathbf{b}]\) e faça \(L_3\leftarrow L_3-\frac{5}{3}L_1\).

Ver solução

\([A\,|\,\mathbf{b}]=\begin{bmatrix}3&-1&2&|&7\\0&4&-1&|&1\\5&0&1&|&9\end{bmatrix}\).
Após a operação: \(\begin{bmatrix}3&-1&2&|&7\\0&4&-1&|&1\\0&\tfrac{5}{3}&-\tfrac{7}{3}&|&-\tfrac{8}{3}\end{bmatrix}\).

6) Posto, variáveis e graus de liberdade (3×3) — corrigido

\(A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&2\\0&0&0\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\6\\0\end{bmatrix}\).

a) \(\operatorname{rg}(A)\) e \(\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])\). b) Classifique e indique os parâmetros. c) Descreva a solução.

Ver solução

\(\operatorname{rg}(A)=1\) (L2=2×L1, L3 nula) e \(\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=1\).
Compatível ⇒ **SPI** com \(n-r=3-1=2\) parâmetros.
Única equação efetiva: \(x_1+2x_2+x_3=3\). Tome \(x_2=s,\ x_3=t\):
\(x_1=3-2s-t\Rightarrow \mathcal{S}=\{(3-2s-t,\ s,\ t): s,t\in\mathbb{R}\}.\)

7) Sistema homogêneo (dimensão do núcleo)

Em \(A\in\mathbb{R}^{4\times 6}\) com \(\operatorname{rg}(A)=3\): a) \(\dim(\ker A)\)? b) Interpretação geométrica.

Ver solução

a) \(n-r=6-3=3\).
b) Subespaço linear de dimensão 3 em \(\mathbb{R}^6\).

8) Consistência por inspeção (3×3)

\(\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=6\\x+y+z=4\end{cases}\)\ — classifique.

Ver solução

1ª e 2ª proporcionais; 3ª contradiz a 1ª ⇒ **SI**.

9) Parametrização (2×2)

\(\begin{cases}x-y=0\\x+y=2\end{cases}\) — a) Resolva; b) Interprete geometricamente.

Ver solução

De \(x=y\) e \(x+y=2\Rightarrow 2x=2\Rightarrow (x,y)=(1,1)\) (SPD).
Interseção das retas \(x-y=0\) e \(x+y=2\) no ponto \((1,1)\).

10) Identifique o tipo a partir de \(m,n,r\)

Para \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), com \(\operatorname{rg}(A)=r\) e \(\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=r’\):

a) \(r=r’=n\Rightarrow\) _____. b) \(r=r’

Ver solução

a) **SPD** (solução única).
b) **SPI** (infinitas soluções; \(n-r\) parâmetros).
c) **SI** (incompatível).

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.