Método da Substituição (Sistemas Lineares)
O método da substituição resolve sistemas lineares isolando uma incógnita em uma equação e substituindo sua expressão nas demais. É direto em sistemas \(2\times2\) e também funciona em \(3\times3\) (reduzindo a um \(2\times2\)). Nesta página você verá o passo a passo, exemplos (SPD, SI, SPI) e exercícios com gabarito. Para complementar: equação linear, solução de um sistema linear, classificação (SPD, SI, SPI), Gauss (sistemas escalonados) e equações equivalentes.
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Passos do método da substituição, Gauss/Gauss–Jordan, critérios SPD–SI–SPI e formas vetoriais/paramétricas. Ideal para revisão pré-prova.
Quero o eBook Praticar no Banco de QuestõesPasso a passo do método
- Isolar uma incógnita numa equação (a “mais amigável”).
- Substituir essa expressão na(s) outra(s) equação(ões).
- Resolver a nova equação (ou sistema menor) obtido.
- Retornar e determinar as demais incógnitas.
- Verificar nas equações originais.
Quando usar? Excelente quando já há um coeficiente \(1\) ou \(-1\) (ex.: \(x-y=1\Rightarrow y=x-1\)). Se os coeficientes forem “ruins”, considere eliminação de Gauss.
Exemplo 1 — SPD (solução única) com contas simples
\(\begin{cases}2x-3y=-4\\5x+y=7\end{cases}\)
Resolver
Da 2ª: \(y=7-5x\). Substituindo na 1ª: \(2x-3(7-5x)=-4\Rightarrow 2x-21+15x=-4\Rightarrow 17x=17\Rightarrow x=1\). Então \(y=7-5(1)=2\). Solução: \((1,2)\).
Exemplo 2 — SPD com frações
\(\begin{cases}3x+2y=13\\ x-y=1\end{cases}\)
Resolver
Da 2ª: \(y=x-1\). Em \(3x+2(x-1)=13\Rightarrow 5x-2=13\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3\) e \(y=2\). ✔️
Exemplo 3 — SPI (infinitas soluções)
\(\begin{cases}x+y=4\\2x+2y=8\end{cases}\) (equações proporcionais)
Conjunto solução
Da 1ª: \(y=4-x\). Tome \(x=t\): \((x,y)=(t,4-t)\), \(t\in\mathbb{R}\).
Exemplo 4 — SI (sem solução)
\(\begin{cases}x+y=2\\x+y=3\end{cases}\)
Diagnóstico
Substituir da 1ª dá \(y=2-x\). Na 2ª: \(x+(2-x)=3\Rightarrow 2=3\) (contradição) ⇒ SI.
Exemplo 5 — \(3\times3\) por substituição
\(\begin{cases}x+y+z=6\\y-z=1\\x-2y+3z=7\end{cases}\)
Resolver
Da 2ª: \(y=1+z\). Na 1ª: \(x+1+2z=6\Rightarrow x=5-2z\). Na 3ª: \((5-2z)-2(1+z)+3z=7\Rightarrow 3-z=7\Rightarrow z=-4\). Logo \(y=1-4=-3\) e \(x=5-2(-4)=13\). Solução: \((13,-3,-4)\).
Exercícios (método da substituição)
1) \(\{\,2x-3y=-4,\;5x+y=7\,\}\)
Gabarito
\((1,2)\)
2) \(\{\,x-2y=-1,\;4x+y=14\,\}\)
Gabarito
Da 1ª: \(x=-1+2y\). Subst.: \(-4+8y+y=14\Rightarrow9y=18\Rightarrow y=2\Rightarrow x=3\). \((3,2)\)
3) \(\{\,3x+y=10,\;2x-y=1\,\}\)
Gabarito
Da 1ª: \(y=10-3x\). Em 2ª: \(2x-(10-3x)=1\Rightarrow5x=11\Rightarrow x=\tfrac{11}{5},\; y=\tfrac{17}{5}\).
4) \(\{\,2x-4y=6,\;x-2y=3\,\}\) (SPI)
Gabarito
Equações proporcionais. De \(x-2y=3\Rightarrow x=3+2t,\;y=t\). \((3+2t,t)\).
5) \(\{\,x+2y=4,\;2x+4y=10\,\}\) (SI)
Gabarito
Dobrando a 1ª daria \(2x+4y=8\neq10\). Contradição ⇒ sem solução.
6) \(3\times3:\ \{\,x+y+z=6,\;y-z=1,\;x-2y+3z=7\,\}\)
Gabarito
\((13,-3,-4)\) (mesmo do Ex.5).
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Conclusão
Na substituição você transforma gradualmente o sistema até restar uma equação simples, depois faz o caminho inverso (retrosubstituição). É eficiente em \(2\times2\) e didático em \(3\times3\). Para provas, domine este método e tenha uma alternativa como Gauss.
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