Considerando \( x’ \) e \( x” \) as raízes reais da equação \( ax^2 + bx + c = 0 \), com:
$$ x’ = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{e} \quad x” = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Podemos calcular a soma e o produto dessas raízes da seguinte forma:
x’ + x” = \( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a} \)
x’ · x” = \( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{b^2 – \Delta}{4a^2} = \frac{c}{a} \)
\( x’ + x” = \frac{-b}{a} \) \( x’ \cdot x” = \frac{c}{a} \)
Vamos utilizar a soma e o produto das raízes \( x’ \) e \( x” \) de uma equação \( ax^2 + bx + c = 0 \), com \( a \ne 0 \), para obter a forma fatorada da lei de formação da função quadrática correspondente:
Sabemos que a função \( f(x) = ax^2 + bx + c \) pode ser escrita como:
\( f(x) = a(x – x’)(x – x”) \)
Essa é a forma fatorada da função quadrática, que destaca os zeros da função.
O desenvolvimento algébrico dessa expressão confirma a equivalência:
\( f(x) = a(x – x’)(x – x”) = ax^2 – a(x’ + x”)x + ax’x” \)
Substituindo as expressões da soma e do produto:
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f(x) = a(x – x’)(x – x”) \)
Exercício 1: Dada a equação \( 2x^2 – 5x + 3 = 0 \), determine:
- a) A soma das raízes
- b) O produto das raízes
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Comparando com \( ax^2 + bx + c \), temos: \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 3 \)
$$ x’ + x” = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} $$
$$ x’ \cdot x” = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} $$
Resposta: a) \( \frac{5}{2} \), b) \( \frac{3}{2} \)
Exercício 2: Sabendo que uma equação do 2º grau tem soma das raízes igual a 7 e produto igual a 10, determine a equação do 2º grau correspondente.
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Usamos: \( x^2 – (soma)x + produto \)
$$ f(x) = x^2 – 7x + 10 $$
Resposta: \( x^2 – 7x + 10 = 0 \)
Exercício 3: Determine a forma fatorada da função \( f(x) = x^2 – 6x + 8 \).
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Calculando o \( \Delta \):
$$ \Delta = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 – 32 = 4 $$
$$ x’ = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = 4 \quad \text{e} \quad x” = \frac{6 – \sqrt{4}}{2} = 2 $$
Forma fatorada: \( f(x) = (x – 4)(x – 2) \)
Resposta: \( f(x) = (x – 4)(x – 2) \)
Exercício 4: Uma função quadrática tem raízes \( x’ = 2 \) e \( x” = 5 \). Sabendo que \( f(0) = 10 \), determine a função \( f(x) \).
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Forma geral: \( f(x) = a(x – 2)(x – 5) \)
Usando \( f(0) = 10 \):
$$ 10 = a(0 – 2)(0 – 5) = a \cdot (-2) \cdot (-5) = 10a $$
$$ a = 1 $$
Logo, \( f(x) = (x – 2)(x – 5) = x^2 – 7x + 10 \)
Resposta: \( f(x) = x^2 – 7x + 10 \)
