Subtração de Matrizes
A subtração de matrizes é uma operação básica da álgebra matricial e aparece com frequência no ENEM e em concursos. Se você está construindo seu repertório de matrizes, confira também nossos mapas mentais e o banco de questões.
Definição
Para subtrair duas matrizes \(A\) e \(B\), ambas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). A subtração é feita elemento a elemento e pode ser vista como uma soma com a matriz oposta:
Exemplo passo a passo
Sejam
\( A=\begin{bmatrix} 4 & -1 & 2\\ 0 & \tfrac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 7 & 5 & -4\\ -2 & \tfrac{3}{2} & 1 \end{bmatrix}. \)
Calculando \(A-B\) elemento a elemento:
- \((1,1):\; 4-7=-3\)
- \((1,2):\; -1-5=-6\)
- \((1,3):\; 2-(-4)=6\)
- \((2,1):\; 0-(-2)=2\)
- \((2,2):\; \tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-1\)
- \((2,3):\; 3-1=2\)
Logo, \( \;A-B=\begin{bmatrix} -3 & -6 & 6\\ 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}. \)
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Calcule \(A-B\) para
\( A=\begin{bmatrix} 3 & \tfrac{1}{3} & -1\\ -2 & 4 & 0 \end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 5\\ 6 & -3 & 4 \end{bmatrix}. \)
Mostrar solução
\(A-B = \begin{bmatrix} 3-(-1) & \tfrac{1}{3}-2 & -1-5\\ -2-6 & 4-(-3) & 0-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -\tfrac{5}{3} & -6\\ -8 & 7 & -4 \end{bmatrix}.\)
Exercício 2: Mostre que \(A-B = A + (-B)\) usando
\( A=\begin{bmatrix} 1 & -4\\ 3 & 0 \end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix} -2 & 5\\ 7 & -1 \end{bmatrix}. \)
Mostrar solução
Primeiro, \(-B=\begin{bmatrix} 2 & -5\\ -7 & 1 \end{bmatrix}\).
\(A+(-B)=\begin{bmatrix} 1+2 & -4+(-5)\\ 3+(-7) & 0+1 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 3 & -9\\ -4 & 1 \end{bmatrix}.\)
Já
\(A-B=\begin{bmatrix} 1-(-2) & -4-5\\ 3-7 & 0-(-1) \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 3 & -9\\ -4 & 1 \end{bmatrix}.\)
Portanto, \(A-B=A+(-B)\).
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