Teorema de Fubini e Integração Iterada
1. Introdução
Nesta aula do curso de Cálculo 2 da Univesp, o foco está no Teorema de Fubini, que fornece uma técnica eficiente para o cálculo de integrais duplas, também chamada de integração iterada.
A ideia principal é transformar uma integral dupla em duas integrais simples, calculadas em sequência, cada uma em uma das variáveis da função.
2. Revisão: Integral Definida
Assim como no caso de uma variável, a integral definida de duas variáveis pode representar uma área ou volume. Para funções \(f(x,y)\), podemos escrever:
Aqui, \(D\) representa o domínio da função no plano \(xy\).
3. O Teorema de Fubini
Quando o domínio \(D\) é um retângulo \( [a,b] \times [c,d] \) e a função \(f(x,y)\) é contínua, temos:
Isso significa que podemos integrar primeiro em \(y\) e depois em \(x\), ou o contrário.
Exemplo 1:
Calcular:
Solução:
- Integração em \(y\): \(\int_0^3 6x y^2 \, dy = 6x \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_0^3 = 54x.\)
- Integração em \(x\): \(\int_0^2 54x \, dx = 54 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^2 = 216.\)
Resultado: \( \boxed{216} \).
4. Domínios Não Retangulares
Quando \(D\) não é um retângulo, os limites de uma das integrais dependem da outra variável. Por exemplo, se \(x \in [0,2]\) e \(y \in [0,x^2]\), a integral é escrita como:
Exemplo 2:
Calcular:
Solução:
- Integração em \(y\): \(\int_0^{x^2} x y \, dy = x \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^{x^2} = \frac{x^5}{2}.\)
- Integração em \(x\): \(\int_0^2 \frac{x^5}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^6}{6} \Big|_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}.\)
Resultado: \( \boxed{\frac{16}{3}} \).
5. Observações Importantes
- Se o domínio \(D\) é um retângulo, podemos escolher qualquer ordem de integração.
- Se \(D\) é definido por uma função, a ordem deve respeitar os limites variáveis.
- O Teorema de Fubini é fundamental para aplicações em física, química e estatística.
6. Conclusão
O Teorema de Fubini simplifica o cálculo de integrais duplas, tornando possível resolver problemas complexos de volumes e massas de forma iterativa.
Teorema de Fubini – Integrais Duplas Avançadas
1. Revisão da Aula Anterior
Na aula anterior, estudamos o Teorema de Fubini e como ele permite calcular integrais duplas através da integração iterada. Isso significa que uma integral dupla pode ser reduzida ao cálculo de duas integrais simples, uma para cada variável.
2. Integrais em Domínios Retangulares
Quando o domínio \(D\) é retangular, podemos escrever:
A integral dupla pode ser avaliada em qualquer ordem de integração:
3. Extensão para Domínios Gerais
O Teorema de Fubini pode ser aplicado a domínios não retangulares, como regiões limitadas por funções. Nesse caso, por exemplo, se:
temos:
4. Exemplo com Domínio Irregular
Exemplo:
Considere o domínio: \[ x \in [1,2], \quad y \in [x, x^2 + 1]. \] Calcular: \[ \iint_D \frac{y}{x^2} \, dA. \]
Resolução:
- Integração em \(y\): \[ \int_x^{x^2 + 1} \frac{y}{x^2} dy = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_x^{x^2 + 1}. \]
- Substituindo os limites: \[ \frac{(x^2 + 1)^2 – x^2}{2x^2} = \frac{x^4 + 2x^2 + 1 – x^2}{2x^2} = \frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^2}. \]
- Integração em \(x\): \[ \int_1^2 \frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \left( x^2 + 1 + x^{-2} \right) dx. \]
- Resolvendo: \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} + x – x^{-1} \right]_1^2 = \frac{23}{12}. \]
Resultado: \( \boxed{\frac{23}{12}} \).
5. Massa de uma Placa
Outra aplicação das integrais duplas é o cálculo de massa de placas com densidade variável. Se a densidade superficial é dada por \(\rho(x,y)\), então:
6. Domínio Limitado por Curvas
Considere a região limitada pelas curvas: \[ y = x^2 \quad \text{e} \quad y = x^4, \quad x \in [0,1]. \] A integral fica:
7. Conclusão
O Teorema de Fubini é uma ferramenta poderosa para calcular integrais duplas em domínios complexos, seja para encontrar volumes, áreas, massas ou outras grandezas físicas.
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