Teorema de Tangentes (Lei das Tangentes): guia completo com demonstração, exemplos e exercícios
A Lei das Tangentes relaciona as diferenças e somass de lados de um triângulo com as tangentes das meias diferenças e meias somas dos ângulos correspondentes. É uma ferramenta elegante que complementa a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, especialmente útil quando aparecem diferenças de lados/ângulos.
Enunciado e fórmulas
No triângulo \(ABC\), com lados \(a,b,c\) opostos, respectivamente, aos ângulos \(A,B,C\), valem as identidades:
Notação padrão: \(a\) está oposto a \(A\), \(b\) está oposto a \(B\) e \(c\) está oposto a \(C\).
Demonstração resumida e didática
Usaremos a Lei dos Senos e identidades trigonométricas de soma e diferença.
- Pela Lei dos Senos, \( \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2R \Rightarrow a=2R\sin A,\; b=2R\sin B\).
- Então \[ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B}. \]
- Use: \[ \sin A-\sin B=2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right), \] \[ \sin A+\sin B=2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right). \]
- Logo, \[ \frac{a-b}{a+b} =\frac{\tan\!\left(\dfrac{A-B}{2}\right)}{\tan\!\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}. \]
As outras duas formas seguem por simetria, trocando os pares \((A,B)\rightarrow(A,C)\) e \((A,B)\rightarrow(B,C)\).
Quando usar a Lei das Tangentes?
- Para obter \(A-B\), \(A-C\) ou \(B-C\) quando se conhece um par de lados e o terceiro ângulo (pois \(A+B=180^\circ-C\) etc.).
- Em problemas que envolvem diferenças de ângulos de forma natural.
- Como alternativa às Leis dos Senos e dos Cossenos quando essas ficam algébrica ou numericamente menos convenientes.
Exemplos resolvidos (passo a passo)
Exemplo 1 — encontrando \(A-B\)
Dados \(a=8\), \(b=5\) e \(C=60^\circ\). Encontre \(A-B\).
Se desejar estimar \(A\) e \(B\) individualmente, use também a Lei dos Senos após obter \(A-B\).
Exemplo 2 — forma \((b,c)\)
Dados \(b=10\), \(c=14\) e \(A=70^\circ\). Encontre \(B-C\).
Comparação rápida com outras leis
| Lei | Relação | Quando costuma ser melhor |
|---|---|---|
| Lei dos Senos | \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\) | Quando há um lado conhecido com seu ângulo oposto, ou dois ângulos + um lado. |
| Lei dos Cossenos | \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) (cíclica) | Quando se conhece dois lados e o ângulo entre eles (ou os 3 lados). |
| Lei das Tangentes | \(\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{\tan\!\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\tan\!\left(\frac{A+B}{2}\right)}\) (e variantes) | Quando aparecem diferenças de lados/ângulos ou é conveniente usar meias-somas/meias-diferenças. |
Exercícios de múltipla escolha (com gabarito no abre/fecha)
1) Em \(ABC\), \(a=9\), \(b=6\) e \(C=40^\circ\). Qual é o valor aproximado de \(A-B\)?
Solução (passo a passo):
\[ A+B=180^\circ-40^\circ=140^\circ \Rightarrow \frac{A+B}{2}=70^\circ \]
\[ \frac{1}{5}=\frac{\tan\!\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\tan 70^\circ} \Rightarrow \tan\!\left(\frac{A-B}{2}\right)=\frac{1}{5}\tan 70^\circ \]
\[ \frac{A-B}{2}\approx \arctan\!\left(\frac{\tan 70^\circ}{5}\right) \Rightarrow A-B \approx 2\,\arctan\!\left(\frac{\tan 70^\circ}{5}\right)\approx 14^\circ \]
Gabarito: C
2) Se \(a=b\), então (assinale a correta):
Solução: Da fórmula \(\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)}\), se \(a=b\) então o lado esquerdo é \(0\), logo \(\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)=0 \Rightarrow A=B\).
Gabarito: A
3) Em \(ABC\), \(b=10\), \(c=14\) e \(A=70^\circ\). Estime \(B-C\).
\[ -\frac{1}{6}=\frac{\tan\!\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\tan 55^\circ} \Rightarrow \tan\!\left(\frac{B-C}{2}\right)=-\frac{\tan 55^\circ}{6} \] Aproximando, obtemos \(B-C\approx -10^\circ\).
Gabarito: A
Erros comuns e boas práticas
- Esquecer que \(A+B+C=180^\circ\): isso dá acesso direto a \(\dfrac{A+B}{2}\), \(\dfrac{A+C}{2}\) ou \(\dfrac{B+C}{2}\).
- Usar graus e radianos misturados: mantenha uma única unidade ao calcular tangentes e arctangentes.
- Ângulos obtusos: atenção ao quadrante de \(\arctan\) — valide com o contexto geométrico do triângulo.
