GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar matemática

Grupo fechado, eBook gratuito e materiais completos.

✅ Acesso imediato ✅ Revisão rápida ✅ Questões comentadas
O Grande Livro da Matemática do Manual do Mundo
LIVRO MATEMÁTICA RECOMENDADO

O Grande Livro de Matemática do Manual do Mundo

Um livro visual, divertido e didático para aprender matemática de forma leve e inteligente.

📚 Ver Livro

Triângulo Retângulo

Triângulo Retângulo — propriedades, fórmulas, exemplos e exercícios

Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo possui um ângulo interno de \(90^\circ\). Os lados que formam o ângulo reto são os catetos (\(a\) e \(b\)); o lado oposto é a hipotenusa (\(c\)). Este tipo é central na Geometria e na Trigonometria.

Triângulo retângulo com catetos a e b, hipotenusa c e ângulos α e β
Triângulo retângulo: \(\alpha+\beta=90^\circ\), hipotenusa \(c\), catetos \(a\) e \(b\).
Leituras relacionadas: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno · Tipos de Triângulos.

Teorema de Pitágoras

\[ \boxed{a^2 + b^2 = c^2} \]

Válido apenas para triângulos retângulos. O converso do teorema classifica triângulos usando o maior lado \(c\): \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow\) retângulo; \(a^2+b^2>c^2\Rightarrow\) acutângulo; \(a^2+b^2

Relações métricas na hipotenusa

Triângulo retângulo com catetos a e b, hipotenusa c e ângulos α e β
Triângulo retângulo: \(\alpha+\beta=90^\circ\), hipotenusa \(c\), catetos \(a\) e \(b\).

Se a altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa é \(h\), e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são \(m\) (do cateto \(a\)) e \(n\) (do cateto \(b\)), então \(m+n=c\) e:

\[ \boxed{\textbf{Pitágoras:}\quad a^2=b^2+c^2} \]
\[ \boxed{\textbf{Decomposição da hipotenusa:}\quad a=m+n} \]
\[ \boxed{c^2=a\,m} \]
\[ \boxed{b^2=a\,n} \]
\[ \boxed{h^2=m\,n} \]
\[ \boxed{b\,c=a\,h} \]
\[ \boxed{c\,h=b\,m} \]
\[ \boxed{b\,h=c\,n} \]

Observação: estas igualdades decorrem de semelhança dos triângulos formados pela altura \(h\) na hipotenusa.

Exemplo rápido — encontre \(b\), \(c\) e \(h\)

Sabendo que \(a=20\ \text{cm}\), \(m=8\ \text{cm}\) e \(n=12\ \text{cm}\), calcule \(b\), \(c\) e \(h\).

Ver solução
\[ \begin{aligned} a &= m+n = 8+12 = 20\ (\checkmark)\\[2pt] c^2 &= a\,m = 20\cdot 8 = 160 \ \Rightarrow\ c=4\sqrt{10}\ \text{cm}\\[2pt] b^2 &= a\,n = 20\cdot 12 = 240 \ \Rightarrow\ b=4\sqrt{15}\ \text{cm}\\[2pt] h^2 &= m\,n = 8\cdot 12 = 96 \ \Rightarrow\ h=4\sqrt{6}\ \text{cm}\\[2pt] \text{cheque: } &\ b\,c = (4\sqrt{15})(4\sqrt{10})=16\sqrt{150}=16\cdot 5\sqrt{6}=80\sqrt{6}\\ & a\,h = 20\cdot (4\sqrt{6})=80\sqrt{6}\quad (\checkmark) \end{aligned} \]

Razões trigonométricas (ângulos agudos)

Com \(\alpha\) em \(A\) e \(\beta\) em \(B\):

\[ \boxed{\sin\alpha=\tfrac{a}{c}} \]
\[ \boxed{\cos\alpha=\tfrac{b}{c}} \]
\[ \boxed{\tan\alpha=\tfrac{a}{b}} \]
\[ \boxed{\sin\beta=\tfrac{b}{c}} \]
\[ \boxed{\cos\beta=\tfrac{a}{c}} \]
\[ \boxed{\tan\beta=\tfrac{b}{a}} \]
\[ \boxed{\alpha+\beta=90^\circ} \]

Ângulos notáveis \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) → lados proporcionais a \(1:\sqrt{3}:2\). Isósceles retângulo \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\) → catetos iguais e \(c=a\sqrt{2}\).

Área, perímetro e círculos notáveis

\[ \boxed{A=\tfrac{a\,b}{2}} \]
\[ \boxed{P=a+b+c} \]
\[ \boxed{h=\tfrac{a\,b}{c}} \quad(\text{altura na hipotenusa}) \]
\[ \boxed{r=\tfrac{A}{s}} \]
\[ \boxed{r=\tfrac{a+b-c}{2}} \quad(\text{fórmula específica para triângulo retângulo}) \]
\[ \boxed{R=\tfrac{c}{2}} \quad(\text{circuncentro é o ponto médio da hipotenusa}) \]

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Pitágoras + área + perímetro

Num triângulo retângulo, os catetos valem \(a=6\,\text{cm}\) e \(b=8\,\text{cm}\). Calcule \(c\), a área e o perímetro.

Ver solução
\[ \begin{aligned} c^2 &= a^2+b^2\\ &= 6^2+8^2\\ &= 36+64\\ &= 100\\ c &= 10\\[6pt] A &= \frac{a\cdot b}{2}\\ &= \frac{6\cdot 8}{2}\\ &= 24\ \text{cm}^2\\[6pt] P &= a+b+c\\ &= 6+8+10\\ &= \boxed{24\ \text{cm}} \end{aligned} \]

Exemplo 2 — hipotenusa dada, ache o cateto e os ângulos

Dado \(c=13\,\text{cm}\) e um cateto \(a=5\,\text{cm}\). Encontre \(b\), \(\alpha\) (oposto a \(a\)) e \(\beta\).

Ver solução
\[ \begin{aligned} b^2 &= c^2-a^2\\ &= 13^2-5^2\\ &= 169-25\\ &= 144\\ b &= 12\\[6pt] \sin\alpha &= \frac{a}{c}\\ &= \frac{5}{13}\\ \alpha &\approx 22{,}62^\circ\\[6pt] \beta &= 90^\circ-\alpha\\ &\approx 67{,}38^\circ \end{aligned} \]

Exemplo 3 — lado e ângulo \(\Rightarrow\) complete o triângulo

Com hipotenusa \(c=10\,\text{cm}\) e \(\alpha=30^\circ\), determine \(a\) (oposto a \(\alpha\)) e \(b\).

Ver solução
\[ \begin{aligned} a &= c\sin\alpha\\ &= 10\sin 30^\circ\\ &= 10\cdot 0{,}5\\ &= 5\\[6pt] b &= c\cos\alpha\\ &= 10\cos 30^\circ\\ &= 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &= \boxed{5\sqrt{3}\ \text{cm}\ (\approx 8{,}66)} \end{aligned} \]

Exemplo 4 — relações métricas na hipotenusa

Na figura, \(c=20\,\text{cm}\) e a projeção do cateto \(a\) vale \(m=8\,\text{cm}\). Encontre \(a\), \(b\), \(h\) e \(n\).

Ver solução
\[ \begin{aligned} a^2 &= c\,m = 20\cdot 8 = 160 \Rightarrow a=4\sqrt{10}\\[4pt] n &= c-m = 20-8 = 12\\[4pt] b^2 &= c\,n = 20\cdot 12 = 240 \Rightarrow b=4\sqrt{15}\\[4pt] h^2 &= m\,n = 8\cdot 12 = 96 \Rightarrow h=4\sqrt{6} \end{aligned} \]

Exercícios (múltipla escolha)

(1)

Num triângulo retângulo, \(a=9\) e \(b=12\) (cm). A hipotenusa mede:

  1. 14
  2. 15
  3. 16
  4. 18
  5. 21
Mostrar solução
\(c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\). Resp.: B.

(2)

Com \(c=26\) e \(a=10\) (cm), o outro cateto vale:

  1. 16
  2. 18
  3. 20
  4. 22
  5. 24
Mostrar solução
\(b=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\). Resp.: E.

(3)

Se \(a=7\) cm, \(c=25\) cm, então \(\alpha\) (oposto a \(a\)) é aproximadamente:

  1. \(14^\circ\)
  2. \(16^\circ\)
  3. \(18^\circ\)
  4. \(20^\circ\)
  5. \(22^\circ\)
Mostrar solução
\(\sin\alpha=\tfrac{7}{25}=0{,}28\Rightarrow \alpha\approx 16{,}26^\circ\). Resp.: B.

(4)

Num isósceles retângulo com cateto \(x\), a hipotenusa é:

  1. \(x\)
  2. \(x\sqrt{2}\)
  3. \(2x\)
  4. \(x\sqrt{3}\)
  5. \(x/2\)
Mostrar solução
Razão \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\): \(c=x\sqrt{2}\). Resp.: B.

(5)

Se \(a=15\) cm, \(b=20\) cm, então a altura na hipotenusa é:

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
  5. 14
Mostrar solução
\(h=\dfrac{a\,b}{c}\), com \(c=\sqrt{15^2+20^2}=25\). Logo, \(h=\dfrac{15\cdot 20}{25}=12\). Resp.: C.

Resumo rápido (uma por linha)

\[ \textbf{Pitágoras:}\quad a^2+b^2=c^2 \]
\[ \textbf{Soma dos ângulos agudos:}\quad \alpha+\beta=90^\circ \]
\[ \textbf{Área:}\quad A=\frac{a\,b}{2} \]
\[ \textbf{Perímetro:}\quad P=a+b+c \]
\[ \textbf{Altura na hipotenusa:}\quad h=\frac{a\,b}{c} \]
\[ \textbf{Inraio (geral):}\quad r=\frac{A}{s} \quad (s=\tfrac{a+b+c}{2}) \]
\[ \textbf{Inraio (retângulo):}\quad r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a\,b}{a+b+c} \]
\[ \textbf{Circunrádio:}\quad R=\frac{c}{2} \]
\[ \textbf{Métricas:}\quad a^2=c\,m \]
\[ \textbf{Métricas:}\quad b^2=c\,n \]
\[ \textbf{Métricas:}\quad h^2=m\,n \]
\[ \textbf{Métricas:}\quad a\,b=c\,h \]
\[ \textbf{Trigonometria:}\quad \sin\alpha=\tfrac{a}{c},\ \cos\alpha=\tfrac{b}{c},\ \tan\alpha=\tfrac{a}{b} \]
\[ \textbf{Trigonometria:}\quad \sin\beta=\tfrac{b}{c},\ \cos\beta=\tfrac{a}{c},\ \tan\beta=\tfrac{b}{a} \]

Continue estudando: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno.

Materiais do Matemática Hoje

GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar mais rápido

Entre no grupo fechado do WhatsApp, baixe o eBook gratuito e acesse os produtos.

✅ Acesso imediato ✅ Questões comentadas ✅ Revisão rápida ✅ Conteúdo direto
Picture of Adriano Rocha

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
MAPAS MENTAIS
Matemática em Mapas Mentais
Visual • organizado • fácil de memorizar
ACESSAR AGORA →
Ideal para revisão • provas • concursos
COLEÇÃO COMPLETA
10 eBooks de Matemática
Resumos • exercícios • revisões rápidas para estudar melhor
VER OS 10 EBOOKS →
Conteúdo organizado • ideal para provas e concursos
CURSO COMPLETO
Matemática Básica: do Zero à Confiança
Aprenda do início, sem travar • aulas práticas • exercícios resolvidos
CONHECER O CURSO →
Ideal para iniciantes • ENEM • concursos • reforço escolar

Nos ajude compartilhando esse post 😉

Facebook
WhatsApp
Twitter
Pinterest

Veja também...

Conteúdos de Matemática

Exercícios de Matemática

GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar mais rápido

Entre no grupo fechado do WhatsApp, baixe o eBook gratuito e acesse os produtos.

✅ Acesso imediato ✅ Questões comentadas ✅ Revisão rápida ✅ Conteúdo direto
Instagram Facebook Youtube Tiktok Threads-square Pinterest