Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo possui um ângulo interno de \(90^\circ\). Os lados que formam o ângulo reto são os catetos (\(a\) e \(b\)); o lado oposto é a hipotenusa (\(c\)). Este tipo é central na Geometria e na Trigonometria.

Leituras relacionadas: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno · Tipos de Triângulos.

Teorema de Pitágoras

\[ \boxed{a^2 + b^2 = c^2} \]

Válido apenas para triângulos retângulos. O converso do teorema classifica triângulos usando o maior lado \(c\): \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow\) retângulo; \(a^2+b^2>c^2\Rightarrow\) acutângulo; \(a^2+b^2

Relações métricas na hipotenusa

Triângulo retângulo: \(\alpha+\beta=90^\circ\), hipotenusa \(c\), catetos \(a\) e \(b\).

Se a altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa é \(h\), e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são \(m\) (do cateto \(a\)) e \(n\) (do cateto \(b\)), então \(m+n=c\) e:

\[ \boxed{\textbf{Pitágoras:}\quad a^2=b^2+c^2} \]

\[ \boxed{\textbf{Decomposição da hipotenusa:}\quad a=m+n} \]

\[ \boxed{c^2=a\,m} \]

\[ \boxed{b^2=a\,n} \]

\[ \boxed{h^2=m\,n} \]

\[ \boxed{b\,c=a\,h} \]

\[ \boxed{c\,h=b\,m} \]

\[ \boxed{b\,h=c\,n} \]

Observação: estas igualdades decorrem de semelhança dos triângulos formados pela altura \(h\) na hipotenusa.

Exemplo rápido — encontre \(b\), \(c\) e \(h\)

Sabendo que \(a=20\ \text{cm}\), \(m=8\ \text{cm}\) e \(n=12\ \text{cm}\), calcule \(b\), \(c\) e \(h\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} a &= m+n = 8+12 = 20\ (\checkmark)\\[2pt] c^2 &= a\,m = 20\cdot 8 = 160 \ \Rightarrow\ c=4\sqrt{10}\ \text{cm}\\[2pt] b^2 &= a\,n = 20\cdot 12 = 240 \ \Rightarrow\ b=4\sqrt{15}\ \text{cm}\\[2pt] h^2 &= m\,n = 8\cdot 12 = 96 \ \Rightarrow\ h=4\sqrt{6}\ \text{cm}\\[2pt] \text{cheque: } &\ b\,c = (4\sqrt{15})(4\sqrt{10})=16\sqrt{150}=16\cdot 5\sqrt{6}=80\sqrt{6}\\ & a\,h = 20\cdot (4\sqrt{6})=80\sqrt{6}\quad (\checkmark) \end{aligned} \]

Razões trigonométricas (ângulos agudos)

Com \(\alpha\) em \(A\) e \(\beta\) em \(B\):

\[ \boxed{\sin\alpha=\tfrac{a}{c}} \]

\[ \boxed{\cos\alpha=\tfrac{b}{c}} \]

\[ \boxed{\tan\alpha=\tfrac{a}{b}} \]

\[ \boxed{\sin\beta=\tfrac{b}{c}} \]

\[ \boxed{\cos\beta=\tfrac{a}{c}} \]

\[ \boxed{\tan\beta=\tfrac{b}{a}} \]

\[ \boxed{\alpha+\beta=90^\circ} \]

Ângulos notáveis \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) → lados proporcionais a \(1:\sqrt{3}:2\). Isósceles retângulo \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\) → catetos iguais e \(c=a\sqrt{2}\).

Área, perímetro e círculos notáveis

\[ \boxed{A=\tfrac{a\,b}{2}} \]

\[ \boxed{P=a+b+c} \]

\[ \boxed{h=\tfrac{a\,b}{c}} \quad(\text{altura na hipotenusa}) \]

\[ \boxed{r=\tfrac{A}{s}} \]

\[ \boxed{r=\tfrac{a+b-c}{2}} \quad(\text{fórmula específica para triângulo retângulo}) \]

\[ \boxed{R=\tfrac{c}{2}} \quad(\text{circuncentro é o ponto médio da hipotenusa}) \]

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Pitágoras + área + perímetro

Num triângulo retângulo, os catetos valem \(a=6\,\text{cm}\) e \(b=8\,\text{cm}\). Calcule \(c\), a área e o perímetro.

Ver solução

\[ \begin{aligned} c^2 &= a^2+b^2\\ &= 6^2+8^2\\ &= 36+64\\ &= 100\\ c &= 10\\[6pt] A &= \frac{a\cdot b}{2}\\ &= \frac{6\cdot 8}{2}\\ &= 24\ \text{cm}^2\\[6pt] P &= a+b+c\\ &= 6+8+10\\ &= \boxed{24\ \text{cm}} \end{aligned} \]

Exemplo 2 — hipotenusa dada, ache o cateto e os ângulos

Dado \(c=13\,\text{cm}\) e um cateto \(a=5\,\text{cm}\). Encontre \(b\), \(\alpha\) (oposto a \(a\)) e \(\beta\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} b^2 &= c^2-a^2\\ &= 13^2-5^2\\ &= 169-25\\ &= 144\\ b &= 12\\[6pt] \sin\alpha &= \frac{a}{c}\\ &= \frac{5}{13}\\ \alpha &\approx 22{,}62^\circ\\[6pt] \beta &= 90^\circ-\alpha\\ &\approx 67{,}38^\circ \end{aligned} \]

Exemplo 3 — lado e ângulo \(\Rightarrow\) complete o triângulo

Com hipotenusa \(c=10\,\text{cm}\) e \(\alpha=30^\circ\), determine \(a\) (oposto a \(\alpha\)) e \(b\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} a &= c\sin\alpha\\ &= 10\sin 30^\circ\\ &= 10\cdot 0{,}5\\ &= 5\\[6pt] b &= c\cos\alpha\\ &= 10\cos 30^\circ\\ &= 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &= \boxed{5\sqrt{3}\ \text{cm}\ (\approx 8{,}66)} \end{aligned} \]

Exemplo 4 — relações métricas na hipotenusa

Na figura, \(c=20\,\text{cm}\) e a projeção do cateto \(a\) vale \(m=8\,\text{cm}\). Encontre \(a\), \(b\), \(h\) e \(n\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} a^2 &= c\,m = 20\cdot 8 = 160 \Rightarrow a=4\sqrt{10}\\[4pt] n &= c-m = 20-8 = 12\\[4pt] b^2 &= c\,n = 20\cdot 12 = 240 \Rightarrow b=4\sqrt{15}\\[4pt] h^2 &= m\,n = 8\cdot 12 = 96 \Rightarrow h=4\sqrt{6} \end{aligned} \]

Exercícios (múltipla escolha)

(1)

Num triângulo retângulo, \(a=9\) e \(b=12\) (cm). A hipotenusa mede:

Mostrar solução

\(c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\). Resp.: B.

(2)

Com \(c=26\) e \(a=10\) (cm), o outro cateto vale:

Mostrar solução

\(b=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\). Resp.: E.

(3)

Se \(a=7\) cm, \(c=25\) cm, então \(\alpha\) (oposto a \(a\)) é aproximadamente:

\(14^\circ\)
\(16^\circ\)
\(18^\circ\)
\(20^\circ\)
\(22^\circ\)

Mostrar solução

\(\sin\alpha=\tfrac{7}{25}=0{,}28\Rightarrow \alpha\approx 16{,}26^\circ\). Resp.: B.

(4)

Num isósceles retângulo com cateto \(x\), a hipotenusa é:

\(x\)
\(x\sqrt{2}\)
\(2x\)
\(x\sqrt{3}\)
\(x/2\)

Mostrar solução

Razão \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\): \(c=x\sqrt{2}\). Resp.: B.

(5)

Se \(a=15\) cm, \(b=20\) cm, então a altura na hipotenusa é:

Mostrar solução

\(h=\dfrac{a\,b}{c}\), com \(c=\sqrt{15^2+20^2}=25\). Logo, \(h=\dfrac{15\cdot 20}{25}=12\). Resp.: C.

Resumo rápido (uma por linha)

\[ \textbf{Pitágoras:}\quad a^2+b^2=c^2 \]

\[ \textbf{Soma dos ângulos agudos:}\quad \alpha+\beta=90^\circ \]

\[ \textbf{Área:}\quad A=\frac{a\,b}{2} \]

\[ \textbf{Perímetro:}\quad P=a+b+c \]

\[ \textbf{Altura na hipotenusa:}\quad h=\frac{a\,b}{c} \]

\[ \textbf{Inraio (geral):}\quad r=\frac{A}{s} \quad (s=\tfrac{a+b+c}{2}) \]

\[ \textbf{Inraio (retângulo):}\quad r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a\,b}{a+b+c} \]

\[ \textbf{Circunrádio:}\quad R=\frac{c}{2} \]

\[ \textbf{Métricas:}\quad a^2=c\,m \]

\[ \textbf{Métricas:}\quad b^2=c\,n \]

\[ \textbf{Métricas:}\quad h^2=m\,n \]

\[ \textbf{Métricas:}\quad a\,b=c\,h \]

\[ \textbf{Trigonometria:}\quad \sin\alpha=\tfrac{a}{c},\ \cos\alpha=\tfrac{b}{c},\ \tan\alpha=\tfrac{a}{b} \]

\[ \textbf{Trigonometria:}\quad \sin\beta=\tfrac{b}{c},\ \cos\beta=\tfrac{a}{c},\ \tan\beta=\tfrac{b}{a} \]

Continue estudando: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno.

Triângulo Retângulo

Triângulo Retângulo

Teorema de Pitágoras

Relações métricas na hipotenusa

Exemplo rápido — encontre \(b\), \(c\) e \(h\)

Razões trigonométricas (ângulos agudos)

Área, perímetro e círculos notáveis

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Pitágoras + área + perímetro

Exemplo 2 — hipotenusa dada, ache o cateto e os ângulos

Exemplo 3 — lado e ângulo \(\Rightarrow\) complete o triângulo

Exemplo 4 — relações métricas na hipotenusa

Exercícios (múltipla escolha)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Resumo rápido (uma por linha)

Materiais do Matemática Hoje

Lei dos Senos

Área do Quadrado

Triângulos — tipos e propriedades

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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