Num triângulo isósceles de base BC, traçamos a bissetriz do ângulo A e chamamos de P o ponto em que ela encontra a base BC. Depois, decompomos o triângulo ABC em dois outros: triângulo ABP e triângulo ACP

Como:
- AB ≡ AC (porque ∆ABC é isósceles de base BC);
- r ≡ s (porque AP é bissetriz de A);
- AP é lado comum aos dois triângulos;
os triângulos ABP e ACP são congruentes pelo caso LAL.
Da congruência ∆ABP ≡ ∆ACP, podemos concluir que B ≡ C.
Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
A primeira demonstração dessa propriedade é atribuída a Tales de Mileto.
Da congruência ∆ABP ≡ ∆ACP, também podemos concluir que BP ; PC, ou seja, P é ponto médio do lado BC e, em consequência, AP é uma mediana.
Em qualquer triângulo isósceles, a bissetriz do ângulo do vértice é também mediana relativa à base
Finalmente, da congruência ∆ABP ≡ ∆ACP, podemos concluir que BPA ≡ CPA. Como a soma desses dois ângulos é 180° (porque B, P e C estão alinhados), deduzimos que BPA ≡ CPA e a medida desses ângulos é 90°. Dessa forma, AP é perpendicular a BC e, em consequência, AP é uma altura.
Em qualquer triângulo isósceles, a bissetriz do ângulo do vértice é também altura relativa à base.
Em resumo, se o triângulo ABC é isósceles de base BC e P é o ponto médio da base, então:
- B ≡ C
- AP é mediana, altura e bissetriz desse triângulo.

Propriedade recíproca
Vamos pensar, agora, num triângulo ABC que tenha dois ângulos congruentes ( B ≡ C).

Tracemos a bissetriz AP do ângulo  e vamos decompor o triângulo ABC em dois outros: ∆ABP e ∆ACP.

Como:
- AP é lado comum aos dois triângulos;
- r ≡ s (porque AP é bissetriz de Â);
- B ≡ C (hipótese admitida);
os triângulos ABP e ACP são congruentes pelo caso LAAo

Da congruência ∆ABP ≡ ∆ACP, podemos concluir que AB ; AC, ou seja, o triângulo ABC é isósceles de base BC.
Se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então esse é um triângulo isósceles.
Lista de Exercícios com Solução Triângulos Isósceles
Exercício 01 – Em cada caso abaixo, o triângulo ABC é isósceles com AB ≡ AC. Calcule x e y
a)

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b)

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Exercício 02 – O triângulo ABC é isósceles de base AC. Sabendo que A mede x + 30° e C mede 2x – 20°, determine x.

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Exercício 03 – O triângulo ABC é isósceles de base BC. Determine, em cada caso, o valor de x.
a)

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b)

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c)

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Exercício 04 – Em um triângulo isósceles, um ângulo externo adjacente à base mede 130°. Determine os ângulos do triângulo.
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Resposta: 50°, 50°, 80°
Exercício 05 – O triângulo PQR é isósceles de base QR. Observe a figura e determine x e y.

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Exercício 06 – Considerando que segmentos com marcas iguais são congruentes, determine x em cada figura.
a)

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O triângulo ABC é isósceles retângulo. Então: med (A) = med (C) = 45°
Em C, temos ângulos opostos pelo vértice.
Então, no triângulo CDE, med (C) 5= 45° e med(D) = 75°. Portanto, med (E) = 60°.
Em E, os ângulos são suplementares.
Portanto, x = 120°.
b)

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O triângulo ACD é isósceles.
Então: med (CAD) = 35° e med (ACD) = 110°.
Em C, os ângulos são suplementares.
No triângulo ABC, med (BCA) = 70°.
Como o triângulo ABC é isósceles,
med (B) = med (BCA) = 70°
Então: x + 70° + 70° = 180° ⇒ x = 40°.
Exercício 07 – Em um triângulo isósceles de base DE, CS é bissetriz. Sabendo que DS mede 5 cm, determine ES = x e a medida de CSD.
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Se DS mede 5 cm, então SE = x = 5 cm e med (CSD) = 90°.
Exercício 08 – Num triângulo isósceles ABC, com AB ≡ AC, AM é mediana. Se B mede 40°, determine a medida de MAC, x, e a de AMB, y.

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Exercício 09 – A figura mostra um triângulo isósceles de base BC, em que  mede 80°. Sendo BD e CD bissetrizes dos ângulos ABC e A ˆ CB, respectivamente, calcule o valor de x.

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A geometria é uma área fundamental da matemática, dedicada ao estudo das formas, tamanhos e propriedades de figuras no plano e no espaço.