Trigonometria Básica: guia completo para entender seno, cosseno e tangente (com exercícios)
Se você trava quando vê sen, cos e tg, este artigo é para você. Vamos construir a ideia do jeito certo: primeiro no triângulo retângulo, depois nos ângulos notáveis e, por fim, no círculo trigonométrico.
1) O que é trigonometria?
ideia centralA trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações entre ângulos e lados de triângulos (principalmente do triângulo retângulo) e, mais adiante, como essas relações se conectam ao círculo trigonométrico.
Para complementar seus estudos, veja: Mapas Mentais de Matemática e a seção ENEM Matemática.
2) Triângulo retângulo: nomes dos lados (sem confusão)
fundamentoNo triângulo retângulo existe um ângulo de 90°. O lado oposto a 90° é sempre a hipotenusa (o maior lado).
- Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90°.
- Cateto oposto: lado que fica “na frente” do ângulo \(\theta\).
- Cateto adjacente: lado que fica “ao lado” do ângulo \(\theta\) (mas não é a hipotenusa).
Um jeito de não errar: marque o ângulo \(\theta\). O lado “colado” nele é o adjacente. O lado “do outro lado” é o oposto. E a hipotenusa é o lado maior.
3) Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo (SOH-CAH-TOA)
definiçõesAs três relações mais usadas da trigonometria básica são: seno, cosseno e tangente. Elas são definidas por razões (divisões) entre lados do triângulo retângulo.
Para um ângulo \(\theta\) em um triângulo retângulo:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \qquad \tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]
SOH (Sine = Opposite / Hypotenuse),
CAH (Cosine = Adjacent / Hypotenuse),
TOA (Tangent = Opposite / Adjacent).
Em português: sen = op/hip, cos = adj/hip, tg = op/adj.
Dica: uma checagem rápida é lembrar que \(\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).
4) Ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) — o que você precisa dominar
muito cobradoEm trigonometria básica, os ângulos que mais aparecem são: 30°, 45° e 60°. Eles vêm de triângulos especiais:
Triângulo 45°-45°-90°
Catetos iguais. Se cada cateto vale 1, a hipotenusa vale \(\sqrt{2}\).
Triângulo 30°-60°-90°
Razão clássica dos lados: \(1,\ \sqrt{3},\ 2\) (hipotenusa = 2).
- Para \(30^\circ\) e \(60^\circ\), seno e cosseno “trocam” de lugar.
- \(\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\) ajuda a conferir.
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) é o mesmo que \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) (racionalizando, vira \(\sqrt{3}/3\)).
5) Círculo trigonométrico: onde seno e cosseno “moram”
entenda de vezO círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 (círculo unitário), centrado na origem. Para um ângulo \(\theta\), o ponto no círculo tem coordenadas \((x,y)\) e:
Isso permite entender sinais por quadrante:
Quadrantes (sinais)
- 1º: \(\sin>0\), \(\cos>0\), \(\tan>0\)
- 2º: \(\sin>0\), \(\cos<0\), \(\tan<0\)
- 3º: \(\sin<0\), \(\cos<0\), \(\tan>0\)
- 4º: \(\sin<0\), \(\cos>0\), \(\tan<0\)
Porque \(\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).
Se os dois têm o mesmo sinal, a divisão é positiva; se têm sinais diferentes, é negativa.
6) Graus e radianos: conversão essencial
conversãoEm muitas questões, o ângulo aparece em radianos. A conversão mais importante é:
Conversões clássicas
- \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\)
- \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\)
- \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\)
- \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\)
- \(180^\circ=\pi\)
- \(360^\circ=2\pi\)
radianos → graus: multiplique por \(180/\pi\).
7) Identidades básicas que resolvem muita coisa
essencialCom estas relações você já resolve uma grande parte das questões:
8) Aplicações clássicas: altura, sombra, rampa e distância
problemasTrigonometria é perfeita para “medir sem medir diretamente”: você mede um ângulo, mede uma distância no chão e calcula alturas ou comprimentos inacessíveis.
Quando usar cada razão?
- sen: conecta oposto e hipotenusa.
- cos: conecta adjacente e hipotenusa.
- tg: conecta oposto e adjacente.
9) Exercícios de trigonometria básica (com solução no abre/fecha)
treinoA seguir, uma lista para treinar do básico ao essencial. Em cada questão, o enunciado fica fora e a solução fica dentro do abre/fecha.
Exercício 1
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 e o cateto adjacente ao ângulo \(\theta\) mede 6. Calcule \(\cos(\theta)\).
Ver solução passo a passo
1) \(\cos(\theta)=\dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)
2) \(\cos(\theta)=\dfrac{6}{10}\)
3) \(\cos(\theta)=\dfrac{3}{5}\)
Resposta: \(\cos(\theta)=\dfrac{3}{5}\).
Exercício 2
Num triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo \(\theta\) mede 9 e o cateto adjacente mede 12. Calcule \(\tan(\theta)\).
Ver solução passo a passo
1) \(\tan(\theta)=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}\)
2) \(\tan(\theta)=\dfrac{9}{12}\)
3) \(\tan(\theta)=\dfrac{3}{4}\)
Resposta: \(\tan(\theta)=\dfrac{3}{4}\).
Exercício 3
Uma escada de 5 m encostada em uma parede forma um ângulo de \(60^\circ\) com o chão. Qual é a altura alcançada na parede? (Considere a escada como hipotenusa.)
Ver solução passo a passo
1) A altura é o cateto oposto a \(60^\circ\).
2) \(\sin(60^\circ)=\dfrac{h}{5}\)
3) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{5}\Rightarrow h=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)
Resposta: \(h=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}33\text{ m}\).
10) Próximos passos: como estudar trigonometria sem decorar tudo
método- Desenhe triângulos e nomeie oposto/adjacente/hipotenusa.
- Use SOH-CAH-TOA para escolher a razão certa.
- Domine 30°/45°/60° e confira com \(\tan=\sin/\cos\).
- Treine sinais por quadrante no círculo trigonométrico.
- Resolva muitas questões (trigonometria melhora com prática).
