Solução Passo a Passo:

1. Determinamos a medida do lado \(x\) do quadrado: \[ x^2 = 256 \quad \Rightarrow \quad x = 16 \, \text{cm}. \]

2. Considerando o triângulo \(ABP\), com ângulos de \(30^\circ\) e \(60^\circ\), temos: \[ \sin 30^\circ = \frac{BP}{AB} \quad \Rightarrow \quad BP = 8 \, \text{cm}, \] \[ \cos 30^\circ = \frac{AP}{AB} \quad \Rightarrow \quad AP = 8 \sqrt{3} \, \text{cm}. \]

3. Assim, o perímetro do triângulo \(ABP\) é: \[ P = AB + BP + AP = 16 + 8 + 8 \sqrt{3} = 8(3 + \sqrt{3}) \, \text{cm}. \]

Resposta final: alternativa d) \(8(3 + \sqrt{3}) \, \text{cm}\).

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