UNICAMP 2021 | Matemática | Equação com Frações
A soma dos valores de \( x \) que resolvem a equação
\[ \frac{1}{2 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{x + \frac{1}{4x}} = \frac{1}{2} \]
é igual a:
a) \( \frac{14}{3} \)
b) \( \frac{18}{3} \)
c) \( \frac{16}{3} \)
d) \( \frac{20}{3} \)
Resolução:
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo: \[ \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7}. \]
Para a fração envolvendo \(x\): \[ x + \frac{1}{4x} = \frac{4x^2+1}{4x}, \quad \frac{1}{x + \frac{1}{4x}} = \frac{4x}{4x^2+1}. \]
Igualando à \( \frac{1}{2} \): \[ \frac{4x}{4x^2+1} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 8x = 4x^2 + 1 \] \[ 4x^2 – 8x + 1 = 0 \]
Resolvendo a equação quadrática: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 – 16}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
A soma dos valores de \( x \) é: \[ 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}. \]
Resposta: d) \( \frac{20}{3} \)
