UNICAMP 2022 | Matemática | Função Quadrática
A parábola \( y = -x^2 + bx + c \) intercepta o eixo \(x\) nos pontos \( (p, 0) \) e \( (q, 0) \). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações \( y = 2x + 1 \) e \( y = 1 – \frac{x}{2} \). O valor de \( p + q \) é:
a) \( \frac{2}{3} \)
b) \( \frac{3}{4} \)
c) \( \frac{4}{3} \)
d) \( \frac{3}{2} \)
Resolução Passo a Passo:
1) A soma das raízes da parábola é:
\[ p + q = b \]2) Interseção com \( y = 2x + 1 \):
\[ -x^2 + bx + c = 2x + 1 \implies -x^2 + (b-2)x + (c-1) = 0 \]Como há **uma única interseção**, o discriminante deve ser zero:
\[ (b-2)^2 – 4(-1)(c-1) = 0 \implies (b-2)^2 = 4(c-1) \]3) Interseção com \( y = 1 – \frac{x}{2} \):
\[ -x^2 + bx + c = 1 – \frac{x}{2} \implies -x^2 + \left(b + \frac{1}{2}\right)x + (c-1) = 0 \]Novamente, discriminante zero:
\[ \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 – 4(-1)(c-1) = 0 \implies \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 = 4(c-1) \]4) Igualando as duas expressões para \(4(c-1)\):
\[ (b-2)^2 = \left(b+\frac{1}{2}\right)^2 \]Resolvendo:
\[ b^2 – 4b + 4 = b^2 + b + \frac{1}{4} \] \[ -5b = \frac{1}{4} – 4 = -\frac{15}{4} \] \[ b = \frac{3}{4} \]Portanto:
\[ p + q = b = \frac{3}{4} \]Resposta: b) \( \frac{3}{4} \)
