UNICAMP 2022 | Matemática | Polinômios e Raízes
Seja \( f(x) = x^3 + (a+1)x^2 + (a+2)x + 2 \) e considere que \( x = -1 \) é uma de suas raízes.
a) Determine todos os valores de \(a\) tais que \(x=-1\) seja a única raiz real.
b) Determine todos os valores de \(a\) tais que as soluções de \(f(x)=0\) sejam números inteiros.
Resolução:
a) Divisão do polinômio:
Como \(x=-1\) é raiz, \(f(x)\) é divisível por \((x+1)\). Usando Briot-Ruffini: \[ f(x) = (x+1)(x^2 + ax + 2) \] Para \(x=-1\) ser a única raiz real, o discriminante de \(x^2 + ax + 2 = 0\) deve ser negativo: \[ \Delta = a^2 – 4 \cdot 2 < 0 \implies a^2 - 8 < 0 \] \[ -2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2} \]
b) Condição para raízes inteiras:
Seja o polinômio fatorado como \[ x^3 + (a+1)x^2 + (a+2)x + 2 = (x+1)(x^2 + ax + 2) \] Para raízes inteiras, os divisores de 2 devem ser usados: \[ x_2 x_3 = 2 \] e a soma \[ x_2 + x_3 = a \] Testando combinações inteiras, obtemos: \[ a=-3 \quad ou \quad a=3 \]
Respostas:a) \( -2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2} \)
b) \( a = -3 \) ou \( a = 3 \)
