UNICAMP 2023 | Matemática | 2ª Fase | Conteúdo da Questão
Considere o sistema de equações:
\[ \begin{cases} x + py = q \\ 2x – z = p \\ x + y + z = 3 \end{cases} \]
a) Para \( p = q = 1 \), resolva o sistema.
b) Determine os valores de \( p \) e \( q \) para que o sistema tenha infinitas soluções.
a) Resolvendo o sistema para \( p = q = 1 \):
O sistema fica:
\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x – z = 1 \\ x + y + z = 3 \end{cases} \]1) Da 1ª e 3ª equações: \( z = 3 – (x+y) = 2 \)
2) Substituindo \( z = 2 \) na 2ª equação:
\[ 2x – 2 = 1 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]3) Substituindo \( x = \frac{3}{2} \) na 1ª equação:
\[ \frac{3}{2} + y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \]Solução: \( (x, y, z) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2 \right) \)
b) Condição para infinitas soluções:
Ao escalonar o sistema, para que haja infinitas soluções devemos ter:
\[ 1-3p = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{3} \]\[ p-3q+3 = 0 \Rightarrow q = \frac{10}{9} \]Resposta final:
- a) \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2 \right) \)
- b) \( p = \frac{1}{3}, q = \frac{10}{9} \)
