A trave de equilíbrio é um aparelho de ginástica artística. A Figura 1 representa a trave, e a Figura 2 representa um salto da atleta, cuja trajetória do centro de massa é uma parábola.
a) Sabendo que a distância da trave ao solo é 110 cm, calcule o comprimento do segmento \( DB \).
b) A distância horizontal entre a saída e o ponto de aterrissagem é 125 cm, e o ponto mais alto da trajetória é atingido a 50 cm da trave. Sabendo que, ao sair da trave, o centro de massa estava a 189 cm do chão e, no momento da aterrissagem, a 64 cm do chão, determine a **maior altura atingida** pelo centro de massa da atleta.
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a) Cálculo do segmento \( DB \):
No triângulo retângulo \( BDH \): \[ \sin 60^\circ = \frac{BH}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Sabendo que \( BH = 110 \, \text{cm} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{110}{BD} \implies BD = \frac{220\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \]
b) Determinação da altura máxima:
A parábola que modela a trajetória tem raízes em \( x=-75 \) e \( x=75 \), em cm: \[ f(x) = a(x-75)(x+75) = a(x^2-75^2) \] Usando o ponto \( P_1(-50,125) \): \[ 125 = a((-50)^2-75^2) = a(2500-5625) = -3125a \] \[ a = -\frac{1}{25} \]
A altura máxima ocorre em \( x=0 \): \[ f(0) = -\frac{1}{25}(-75\cdot 75) = 225 \] Somando a altura do solo ao centro de massa inicial (64 cm): \[ H_\text{máx} = 225 + 64 = 289 \, \text{cm} \]
Resposta Final: a) \( \frac{220\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \) b) \( 289 \, \text{cm} \)
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Adriano Rocha
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