As funções trigonométricas \( \cos(x) \) e \( sen(x) \) são muito estudadas no Ensino Médio. Considerando a relação \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} \) e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de \( sen(\pi/12) \) é:
a) \( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \) b) \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \) c) \( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} \) d) \( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} \)
1º Passo – Aplicando a fórmula do cosseno do arco metade:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2}} \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \]
2º Passo – Usando a identidade fundamental da trigonometria:
\[ sen^2\left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1 \] \[ sen^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1 – \frac{2+\sqrt{3}}{4} = \frac{2-\sqrt{3}}{4} \] \[ sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \]
Resposta Final: \[ \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \quad \text{(Alternativa A)} \]
