1) Sistema de coordenadas e simetria

Vamos colocar o quadrado em um plano cartesiano:
D = (0, 0), C = (x, 0), B = (x, x), A = (0, x).

O ponto M é o ponto médio de AB, logo:
M = (x/2, x)

Os pontos P e Q pertencem ao lado CD, isto é, sobre o segmento de (0, 0) até (x, 0).
Seja P = (p, 0) e Q = (q, 0).

A condição PD = QC implica:
PD = p e QC = x − q
p = x − q ⟹ q = x − p

Isso mostra que P e Q são simétricos em relação ao ponto médio da base, ou seja, em relação à reta vertical que passa por M.

2) Vetores MP e MQ

Seja:
d = p − x/2 (deslocamento horizontal de P em relação a M)

Então:
P = (x/2 + d, 0) ⟹ MP = (d, −x)
Q = (x/2 − d, 0) ⟹ MQ = (−d, −x)

O ângulo θ é o ângulo entre os vetores MP e MQ.

3) Cálculo de cos(θ)

Produto escalar:
MP · MQ = d·(−d) + (−x)·(−x) = −d² + x²

Módulos:
|MP|² = d² + x² |MQ|² = d² + x²
|MP| = |MQ| = √(d² + x²)

Assim:

cos(θ) = (MP · MQ) / (|MP|·|MQ|) = (x² − d²) / (x² + d²)

A questão informa que:
cos(θ) = 2/3

Logo:
(x² − d²) / (x² + d²) = 2/3

4) Encontrando d em função de x

3(x² − d²) = 2(x² + d²)
3x² − 3d² = 2x² + 2d²
x² = 5d²
d² = x² / 5

5) Comprimento da base PQ

Os pontos P e Q estão simétricos em relação a x/2, logo:
PQ = 2|d| = 2·(x/√5) = 2x/√5

6) Altura do triângulo PMQ

A base PQ está sobre o lado CD (eixo y = 0).
O ponto M tem coordenadas (x/2, x), então a distância vertical de M à base é:
x

7) Área do triângulo PMQ

A área é:

A = (base · altura) / 2 A = (PQ · x) / 2 A = ( (2x/√5) · x ) / 2 A = x² / √5

Racionalizando o denominador:
A = x² / √5 · (√5/√5) = (√5 x²) / 5

✅ Resposta correta: alternativa A = (√5 x²) / 5