Valor Absoluto: Entenda de Uma Vez por Todas (Com Exemplos e Exercícios)

O que é valor absoluto?

Em palavras simples, o valor absoluto de um número é a distância desse número até o zero na reta numérica, sem considerar o sinal.

Alguns exemplos importantes:

• \(|5| = 5\) (distância de 5 até o zero é 5)
• \(|-5| = 5\) (distância de −5 até o zero também é 5)
• \(|0| = 0\)

Valor absoluto na reta numérica

Imagine a reta numérica com o número 0 no centro. Cada número tem uma posição e, portanto, uma distância até o zero:

• O número 3 está a 3 unidades de distância do zero.
• O número −3 também está a 3 unidades de distância do zero.

Por isso, dizemos que \(|3| = 3\) e \(|-3| = 3\): a distância é a mesma, o que muda é o lado da reta em que o número está.

Em provas, essa ideia aparece muito em questões que falam de distância, erro, diferença entre medidas, variação de temperatura etc.

Propriedades importantes do valor absoluto

Algumas propriedades são muito usadas em contas e em demonstrações:

1. Não negatividade

\(|x| \ge 0\) para qualquer número real \(x\).

Ou seja, o valor absoluto nunca é negativo.

2. Quando o valor absoluto é zero?

\(|x| = 0\) somente quando \(x = 0\). Não existe outro número com valor absoluto igual a zero.

3. Simetria

\(|x| = |-x|\).
O número e o seu oposto têm o mesmo valor absoluto.

4. Produto e quociente

• \(|x \cdot y| = |x|\cdot|y|\)
• \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\), desde que \(y \neq 0\)

5. Desigualdade triangular (ideia geral)

A desigualdade triangular diz que \[ |x + y| \le |x| + |y|. \]

Em linguagem simples: a “distância” da soma nunca passa da soma das distâncias. Essa ideia é muito usada em matemática mais avançada, mas vale a pena conhecer o enunciado.

Como calcular valor absoluto na prática

Para calcular o valor absoluto de um número, você pode seguir um pequeno roteiro mental:

1. Veja se o número é positivo, negativo ou zero.
2. Se for positivo ou zero, o valor absoluto é ele mesmo.
3. Se for negativo, troque o sinal.

Exemplos rápidos:

• \(|7| = 7\)
• \(|-12| = 12\)
• \left|\dfrac{-9}{2}\right| = \dfrac{9}{2}\
• \left|\dfrac{3}{-5}\right| = \dfrac{3}{5}\

Equações com valor absoluto

As equações com valor absoluto são muito comuns em provas. Em geral aparecem na forma:

Nesse caso, a solução será:

• \(x = a\) ou \(x = -a\).

Exemplo 1 – Equação simples

Resolva \(|x| = 5\).

Como o valor absoluto pode ser 5 vindo de dois números:

• \(x = 5\)
• \(x = -5\)

Solução: \(x = 5\) ou \(x = -5\).

Equações do tipo \(|x – c| = a\)

Quando temos uma expressão dentro do valor absoluto, por exemplo \(|x – 2| = 5\), o raciocínio é parecido:

• \(x – 2 = 5\)
• \(x – 2 = -5\)

Exemplo 2 – Resolvendo \(|x – 2| = 5\)

1. \(x – 2 = 5 \Rightarrow x = 7\)
2. \(x – 2 = -5 \Rightarrow x = -3\)

Solução: \(x = 7\) ou \(x = -3\).

Inequações com valor absoluto

Além das equações, aparecem também as inequações com valor absoluto. As mais comuns são:

1. \(|x| < a\) com \(a > 0\)

A solução é um intervalo aberto entre \(-a\) e \(a\):

2. \(|x| \le a\) com \(a > 0\)

A solução é um intervalo fechado entre \(-a\) e \(a\):

3. \(|x| > a\) e \(|x| \ge a\)

Nesses casos a solução é um conjunto de dois intervalos, fora do trecho entre \(-a\) e \(a\).

Exemplo 3 – Resolva \(|x| < 3\)

Como vimos, \(|x| < 3\) significa que \(x\) está a menos de 3 unidades de distância do zero.

Logo, a solução é:

\[ -3 < x < 3 \]

Aplicações do valor absoluto em situações reais

O valor absoluto aparece naturalmente em vários contextos do dia a dia, por exemplo:

• Variação de temperatura: diferença entre −2 °C e 3 °C.
• Erro em medições: diferença entre o valor medido e o valor real.
• Diferença de preços: quanto um produto aumentou ou diminuiu de valor.
• Distância entre dois pontos na reta: se temos \(a\) e \(b\), a distância é \(|a – b|\).

Em Física, Engenharia, Economia e Estatística, o valor absoluto ajuda a lidar com diferenças e variações sem se preocupar com o sinal, apenas com a “intensidade” dessa variação.

Exercícios resolvidos sobre valor absoluto

Agora vamos praticar com alguns exercícios comentados. Tente resolver primeiro, depois clique para abrir a solução.

Exercícios propostos

Resolva os exercícios a seguir para fixar melhor o conteúdo:

1. Calcule \(|-8| + |3| – | -1 |\).
2. Resolva \(|x + 1| = 4\).
3. Determine o conjunto solução de \(|x| > 2\).
4. Sabendo que a temperatura em uma cidade passou de −3 °C para 5 °C, qual foi a variação em valor absoluto?
5. Encontre a distância entre os pontos \(a = -7\) e \(b = 2\) na reta numérica usando \(|a – b|\).

Backlinks e próximos passos de estudo

Valor absoluto se conecta diretamente com outros temas de Matemática Básica e de concursos. Para organizar seus estudos, siga esta sequência sugerida:

• Sistema de Numeração Decimal
• Trigonometria Básica
• ENEM Matemática – Questões Comentadas
• Mapas Mentais de Matemática

Esses conteúdos funcionam como “atalhos” para revisar de forma visual e objetiva, reforçando o que você aprendeu sobre valor absoluto e outros tópicos.