Zero de uma Função
Como encontrar pelas equações e pelo gráfico — com exemplos e exercícios resolvidos.
O zero (ou raiz) de uma função \(f\) é qualquer valor \(x\) do domínio para o qual \(f(x)=0\). No gráfico, os zeros são os pontos onde a curva cruza (ou toca) o eixo \(x\). Antes de prosseguir, relembre Plano Cartesiano, Gráfico de uma Função e Domínio. Para treinar, use o Banco de Questões.
Como encontrar zeros
1) Pelo gráfico
- Leia as abscissas onde a curva encontra o eixo \(x\).
- Cruzar o eixo indica zero de multiplicidade ímpar (ex.: simples). Tocar e voltar indica multiplicidade par.
2) Pela equação
- Função afim \(f(x)=mx+b\): zero em \(-\dfrac{b}{m}\) (se \(m\neq0\)).
- Quadrática \(ax^2+bx+c=0\): use Bhaskara \(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\), \(\Delta=b^2-4ac\).
- Polinômios: faça fatoração (Fator Comum, Ruffini) e zere cada fator.
- Módulo \(|g(x)|=0\): resolve-se \(g(x)=0\).
- Racional \(\dfrac{N(x)}{D(x)}\): zeros vêm de \(N(x)=0\) com a restrição \(D(x)\neq0\).
- Exponencial \(a^x=k\): \(\,x=\log_a k\). Para zero de \(a^x\) não existe, pois \(a^x>0\).
- Log \(\log_a x=0\): \(x=1\).
Exemplos rápidos
| Função | Cálculo | Zeros |
|---|---|---|
| \(f(x)=2x-6\) | \(2x-6=0\Rightarrow x=3\) | \(3\) |
| \(g(x)=x^2-5x+6\) | \((x-2)(x-3)=0\) | \(2\) e \(3\) |
| \(h(x)=x^3-4x\) | \(x(x-2)(x+2)=0\) | \(-2,0,2\) |
| \(p(x)=(x-1)^2(x+3)\) | Fatores \((x-1)^2\) e \((x+3)\) | \(x=1\) (duplo), \(x=-3\) |
| \(q(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\) | Numerador \(=0\), com \(x\neq-1\) | \(x=2\) |
| \(r(x)=|x-4|\) | \(|x-4|=0\Rightarrow x-4=0\) | \(4\) |
Armadilhas comuns
- Domínio: se o \(x\) não pertence ao domínio, não pode ser zero (ex.: \(\sqrt{x-1}\) não tem zero em \(x<1\)).
- Racional: se o zero anula numerador e denominador (fator comum), há um buraco; não é zero da função simplificada original.
- Exponenciais: \(a^x\) nunca zera (para \(a>0\) e \(a\neq1\)).
- Multiplicidade: zero par “toca” o eixo; zero ímpar “cruza”.
Exercícios (múltipla escolha) com solução
1) O zero de \(f(x)=3x+9\) é:
- \(-3\)
- \(3\)
- \(-9\)
- \(9\)
Ver solução
2) Os zeros de \(g(x)=x^2-7x+12\) são:
- \(3\) e \(4\)
- \(1\) e \(12\)
- \(2\) e \(6\)
- \(4\) e \(7\)
Ver solução
3) Para \(h(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), qual afirmação é correta?
- Zero em \(x=-1\) e em \(x=1\)
- Zero apenas em \(x=1\)
- Zero apenas em \(x=-1\)
- Zero em \(x=-1\); em \(x=1\) há buraco
Ver solução
4) O número de zeros reais de \(p(x)=x^2+4x+5\) é:
- 0
- 1
- 2
- infinitos
Ver solução
5) Os zeros de \(q(x)=(x-2)^2(x+5)\) são:
- \(x=2\) (simples) e \(x=-5\) (duplo)
- \(x=2\) (duplo) e \(x=-5\) (simples)
- \(x=2\) e \(x=5\) (ambos duplos)
- \(x=-2\) (duplo) e \(x=5\) (simples)
Ver solução
6) Para \(r(x)=|2x-8|\), o conjunto de zeros é:
- \(\{4\}\)
- \(\{-4\}\)
- \(\{8\}\)
- \(\{-8,8\}\)
Ver solução
Continue estudando (links internos)
• Função do 2º Grau
• Equações do 1º Grau
• Gráfico de uma Função
• Imagem de uma Função
• Coleção 10 eBooks de Matemática
