GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar mais rápido

Entre no grupo fechado do WhatsApp, baixe o eBook gratuito e acesse os produtos (mapas mentais e materiais estratégicos).

✅ Acesso imediato ✅ Questões comentadas no grupo ✅ Ideal para revisão rápida ✅ Conteúdo direto ao ponto

Zeros ou Raiz de uma Função Quadrática

Zeros (raízes) de uma Função Quadrática: Bhaskara, gráfico e exercícios

Zeros (raízes) de uma Função Quadrática

Os zeros (ou raízes) de \(f(x)=ax^2+bx+c\) são os valores de \(x\) que tornam \(f(x)=0\). Geometricamente, são os pontos onde a parábola corta o eixo \(x\). Eles se relacionam diretamente com o vértice, com o valor máximo/mínimo e com os coeficientes \(b\) e \(c\). Para ver a influência do sinal e do módulo de \(a\), confira o papel do coeficiente \(a\).

Ilustração com f(x)=ax²+bx+c e a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da função quadrática.

Fórmula de Bhaskara e discriminante

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\text{com}\quad \Delta=b^2-4ac. \]
  • \(\Delta>0\): duas raízes reais distintas (dois cortes no eixo).
  • \(\Delta=0\): raiz dupla (a parábola tangencia o eixo).
  • \(\Delta<0\): não há raízes reais (cortes só no plano complexo).

Relações úteis (Viète)

\[ r_1+r_2=-\frac{b}{a},\qquad r_1\cdot r_2=\frac{c}{a}. \]

Essas relações explicam como \(b\) e \(c\) controlam a soma e o produto das raízes.

Passo a passo para achar as raízes

  1. Identifique \(a\), \(b\) e \(c\) em \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)).
  2. Calcule \(\Delta=b^2-4ac\).
  3. Substitua em \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
  4. Cheque o gráfico para interpretar (veja o guia do gráfico).
Ilustração com f(x)=ax²+bx+c e a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da função quadrática.

📘 E-book de Fórmulas de Matemática

Bhaskara, forma canônica, vértice, discriminante e muito mais em um PDF enxuto para revisão rápida.

Quero o E-book de Fórmulas

Exemplos resolvidos (com contas em coluna)

Exemplo 1 — Duas raízes reais

Resolva \(x^2-5x+6=0\).

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-5,\ c=6\\[2pt] \Delta&=(-5)^2-4(1)(6)\\ &=25-24\\ &=1\\[6pt] x&=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{5\pm 1}{2}\\[6pt] x_1&=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2 \end{aligned} \]

Exemplo 2 — Raiz dupla

Resolva \(x^2-6x+9=0\).

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-6,\ c=9\\ \Delta&=(-6)^2-4(1)(9)\\ &=36-36\\ &=0\\[6pt] x&=\frac{-(-6)\pm 0}{2\cdot 1}\\ &=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} \]

A parábola toca o eixo em \(x=3\). O vértice está sobre o eixo \(x\).

Exemplo 3 — Sem raízes reais

Resolva \(2x^2+x+2=0\).

\[ \begin{aligned} a&=2,\ b=1,\ c=2\\ \Delta&=1^2-4(2)(2)\\ &=1-16\\ &=-15\ (<0) \end{aligned} \]

Não há soluções reais; o gráfico não corta o eixo \(x\). Para a abertura e posição da parábola, veja o coeficiente \(a\).

Exemplo 4 — Usando Viète

Sabendo que \(f(x)=x^2-7x+10\), encontre as raízes sem Bhaskara.

\[ \begin{aligned} r_1+r_2&=-\frac{b}{a}=7,\quad r_1r_2=\frac{c}{a}=10\\ &\text{Pares que multiplicam 10 e somam 7: }(2,5)\\ &\Rightarrow r_1=2,\ r_2=5. \end{aligned} \]

Sinal de \(f(x)\) e ligação com máximos/mínimos

Com as raízes em mãos, é fácil estudar o sinal da função (intervalos onde \(f(x)>0\) ou \(f(x)<0\)), o que se conecta ao ponto de máximo/mínimo e aos pontos notáveis. Para uma visão geométrica completa (foco e diretriz), veja A parábola.

Exercícios propostos

1) Determine as raízes de \(3x^2-13x+14=0\).

Mostrar gabarito
\[ \begin{aligned} a&=3,\ b=-13,\ c=14\\ \Delta&=(-13)^2-4(3)(14)\\ &=169-168\\ &=1\\[6pt] x&=\frac{-(-13)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 3}\\ &=\frac{13\pm 1}{6}\\ x_1&=\frac{14}{6}=\frac{7}{3},\quad x_2=\frac{12}{6}=2 \end{aligned} \]

2) Para \(f(x)=-2x^2+8x-6\), encontre as raízes e o intervalo onde \(f(x)\ge 0\).

Mostrar gabarito
\[ \begin{aligned} a&=-2,\ b=8,\ c=-6\\ \Delta&=8^2-4(-2)(-6)\\ &=64-48\\ &=16\\[6pt] x&=\frac{-8\pm\sqrt{16}}{2(-2)}\\ &=\frac{-8\pm 4}{-4}\\[6pt] x_1&=\frac{-8+4}{-4}=1,\quad x_2=\frac{-8-4}{-4}=3 \end{aligned} \]

Como \(a<0\), a parábola é “para baixo” e \(f(x)\ge 0\) para \(x\in[1,3]\).

3) Mostre que \(x^2+4x+8=0\) não tem raízes reais e dê as complexas.

Mostrar gabarito
\[ \begin{aligned} \Delta&=4^2-4(1)(8)=16-32=-16\\ x&=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}\\ &=\frac{-4\pm 4i}{2}\\ &= -2\pm 2i \end{aligned} \]

Continue o estudo (links internos)

Função Quadrática (guia completo) Gráfico da função quadrática Vértice da parábola Valor máximo e mínimo Coeficientes \(b\) e \(c\) Coeficiente \(a\) Pontos notáveis da parábola A parábola

Materiais recomendados (produtos do blog)

Mapas Mentais de Matemática Preparação ENEM Matemática Coleção com 10 E-books Banco de Questões de Matemática E-book de Fórmulas (referência rápida)

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

GRUPO GRATUITO

Receba questões de matemática todos os dias

Participe do grupo fechado do WhatsApp e tenha acesso a 1 a 3 questões estratégicas por dia, com resolução comentada e foco em ENEM e concursos.

💬 Entrar no grupo agora
✅ 100% gratuito ✅ Conteúdo direto ao ponto ✅ Ideal para revisão ✅ Método focado em prova
Picture of Adriano Rocha

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
MAPAS MENTAIS
Matemática em Mapas Mentais
Visual • organizado • fácil de memorizar
ACESSAR AGORA →
Ideal para revisão • provas • concursos
COLEÇÃO COMPLETA
10 eBooks de Matemática
Resumos • exercícios • revisões rápidas para estudar melhor
VER OS 10 EBOOKS →
Conteúdo organizado • ideal para provas e concursos
CURSO COMPLETO
Matemática Básica: do Zero à Confiança
Aprenda do início, sem travar • aulas práticas • exercícios resolvidos
CONHECER O CURSO →
Ideal para iniciantes • ENEM • concursos • reforço escolar

Nos ajude compartilhando esse post 😉

Facebook
WhatsApp
Twitter
Pinterest

Veja também...

Conteúdos de Matemática

Exercícios de Matemática

GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar mais rápido

Entre no grupo fechado do WhatsApp, baixe o eBook gratuito e acesse os produtos (mapas mentais e materiais estratégicos).

✅ Acesso imediato ✅ Questões comentadas no grupo ✅ Ideal para revisão rápida ✅ Conteúdo direto ao ponto
Instagram Facebook Youtube Tiktok Threads-square Pinterest