13 Questões Resolvidas de Conjuntos: Pertinência, Inclusão, Subconjuntos e Conjunto Vazio

a) Os múltiplos de 3 menores que 20 são obtidos por \(3 \times 0, 3 \times 1, 3 \times 2, \ldots\) até que o resultado seja menor que 20:

Resposta: \( A = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18\} \)

b) Os números primos menores que 27 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23.

Resposta: \( B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\} \)

c) Os múltiplos de 7 menores que 50 são: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42 e 49.

Resposta: \( C = \{0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\} \)

d) O único satélite natural da Terra é a Lua.

Resposta: \( D = \{\text{Lua}\} \)

e) As letras da palavra “pedra” são: p, e, d, r, a. As consoantes são p, d e r.

Resposta: \( E = \{\text{p}, \text{d}, \text{r}\} \)

a) \( 1 \in B \)? Sim, verdadeiro.

b) \( \{1\} \in B \)? Falso. O conjunto B contém o número 1, não o conjunto que tem 1 como elemento.

c) \( 2 \in B \)? Sim, verdadeiro.

d) \( -1 \in B \)? Sim, verdadeiro.

e) \( 1 \notin B \)? Falso, pois 1 está no conjunto.

f) \( 3 \in B \)? Falso, pois o número 3 não está presente.

Corrigindo as proposições falsas:

• b) \( 1 \in B \)
• e) \( 4 \notin B \)
• f) \( 3 \notin B \)

a) Procuramos os elementos de \( A \) que estão no intervalo \( (5, 10) \):

Elementos: 6, 7, 8, 9

Subconjunto: \( \{6, 7, 8, 9\} \)

b) Os números pares no conjunto \( A \) são aqueles divisíveis por 2:

Elementos: 4, 6, 8, 10

Subconjunto: \( \{4, 6, 8, 10\} \)

c) Agora buscamos os números ímpares maiores ou iguais a 7:

Elementos: 7, 9, 11

Subconjunto: \( \{7, 9, 11\} \)

a) Para formar subconjuntos de 3 elementos, fazemos combinações de 4 elementos tomados 3 a 3.

As possíveis combinações são:

• {2, 4, 6}
• {2, 4, 8}
• {2, 6, 8}
• {4, 6, 8}

b) O único subconjunto com 4 elementos é o próprio conjunto:

{2, 4, 6, 8}

A igualdade entre conjuntos implica que ambos devem conter exatamente os mesmos elementos, embora em ordens diferentes.

O conjunto à esquerda é \( \{0, 1, 2\} \).

O conjunto à direita é \( \{2, a, b\} \), ou seja, contém o número 2 e mais dois números \( a \) e \( b \).

Sabemos que o número 2 já está presente nos dois conjuntos, então os elementos que faltam em \( \{a, b\} \) para formar o conjunto \( \{0, 1, 2\} \) são:

0 e 1

Logo, \( a = 0 \) e \( b = 1 \) (ou vice-versa).

Portanto,

\( a + b = 0 + 1 = \)1

a) Para listar todos os subconjuntos com duas músicas, usamos a ideia de combinações de 4 elementos tomados 2 a 2, sem repetição e sem ordem:

• {a, b}
• {a, c}
• {a, d}
• {b, c}
• {b, d}
• {c, d}

b) A quantidade de pares possíveis é dada por:

\( C(4,2) = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \)6

Resposta: 6 pares

a) \( A \subset B \): V – A está totalmente dentro de B.

b) \( C \subset B \): V – C também está contido em B.

c) \( B \subset A \): F – B contém A, não o contrário.

d) \( A \subset C \): F – A e C não têm interseção visível, logo A não está dentro de C.

e) \( B \not\subset A \): V – B não está contido em A.

f) \( A \subset C \): F – Repetida da d), ainda falsa.

g) \( B \supset A \): V – Sim, B contém A.

h) \( A \not\supset B \): V – A não contém B, é o contrário.

a) \( A \subset B \): V – 1 está em B.

b) \( A \subset C \): V – 1 também está em C.

c) \( A \subset D \): V – 1 também está em D.

d) \( B \subset C \): F – B tem o 0, que não pertence a C.

e) \( B \subset D \): V – 0 e 1 estão em D.

f) \( C \subset D \): F – 3 pertence a C, mas não está em D.

a) Vamos descrever os elementos de A e B:

\( A = \{4, 6, 8, 10, 12, 14\} \)

\( B = \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\} \)

Todos os elementos de A estão em B → \( A \subset B \)

b) Agora vejamos A e C:

\( C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ par e } x \ne 2\} = \{0, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \ldots\} \)

Como todos os elementos de A também estão em C → \( A \subset C \)

c) Analisando B e C:

\( B \) contém o número 2, mas \( C \) exclui esse número.

Logo, 2 está em B, mas não está em C → \( B \not\subset C \)

a) \( 0 \in A \): V – O número 0 está no conjunto A.

b) \( 1 \subset A \): F – 1 não é um conjunto, é um número. A notação está incorreta.

c) \( 3 \in A \): V – 3 está no conjunto A.

d) \( \{3\} \subset A \): V – O conjunto unitário \{3\} está contido em A.

e) \( \{1, 2\} \subset A \): F – 1 não pertence a A, logo \{1, 2\} não está contido em A.

f) \( \emptyset \subset A \): V – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

g) \( \emptyset \in A \): F – O conjunto vazio não está como elemento de A.

h) \( \{3\} \in A \): F – A contém o número 3, não o conjunto \{3\}.

a) \( \{5\} \subset \{0, 5, 10, 15\} \): V – O elemento 5 está presente no segundo conjunto.

b) \( \{a, b, c\} \supset \{b, a, c\} \): V – Os conjuntos são iguais, logo cada um é subconjunto e também superconjunto do outro.

c) \( 2 \subset \{0, 2, 4\} \): F – 2 é um número, não um conjunto. O correto seria \( 2 \in \).

d) \( 8 \in \{2, 4, 6, 8, 10\} \): V – 8 pertence ao conjunto dado.

e) \( \{1, 2, 3\} \supset \{1, 2\} \): V – Os elementos de \{1, 2\} estão contidos no outro conjunto.

f) \( \{-1, 6\} \not\subset \{n \in \mathbb{N} \} \): V – -1 não é número natural.

g) \( 3 \in \{0, 3, 6, 9\} \): V – Está presente no conjunto.

h) \( \frac{1}{2} \notin \{n \mid n \text{ é número natural} \} \): V – Meio não é número natural.

Alternativas verdadeiras: a, b, d, e, f, g, h

a) F – Se \( P \subset Q \), então todo elemento de P também está em Q. Logo, não existe elemento de P fora de Q. F

b) V – Como \( P \subset Q \), Q tem mais elementos que P. Portanto, pode haver \( x \in Q \) que não está em P. V

c) F – Nem todo elemento de Q está em P, pois \( P \subset Q \). A inclusão é unilateral. F

d) V – Se \( x \notin Q \), então ele não pode estar em P, pois todos os elementos de P estão dentro de Q. V

e) F – Pelo contrário, \( P \subset Q \) significa que todos os elementos de P estão em Q. Eles têm elementos em comum. F

Alternativa correta: d

Queremos contar quantos conjuntos \( M \) existem tal que:

• Contenham obrigatoriamente os elementos 1 e 2.
• Sejam subconjuntos de \( \{1, 2, 3, 4\} \), mas diferentes dele.

Isso significa que \( M \) pode conter 1 e 2 e mais alguns elementos de \{3, 4\}, mas não pode conter todos, senão seria igual ao conjunto total.

Os elementos “livres” para adicionar ou não são: 3 e 4 (dois elementos).

Total de subconjuntos possíveis com esses dois elementos é \( 2^2 = 4 \), mas devemos excluir o caso em que nenhum é adicionado (pois \( M \) seria igual a \( \{1, 2\} \), e não estritamente maior), e também excluir o caso com os dois juntos (pois \( M = \{1, 2, 3, 4\} \), e não estritamente menor).

Conjuntos válidos:

• \( \{1, 2, 3\} \)
• \( \{1, 2, 4\} \)
• \( \{1, 2, 3, 4\} \) → não serve
• \( \{1, 2\} \) → não serve

Resposta final: 4 conjuntos

Temos uma cadeia de inclusões:

• \( A \subset B \)
• \( B \subset C \)
• \( C \subset A \)

Juntando todas as relações, temos:

\( A \subset B \subset C \subset A \)

Ou seja, cada conjunto está contido no próximo, até fechar em \( A \).

Isso só é possível se todos forem iguais. Afinal, um conjunto só pode estar contido no outro e ainda conter o outro se eles forem exatamente iguais.

Resposta final: \( A = B = C \)