OBMEP 2024 – Nível 2 – Questão 18
Enunciado:
Joãozinho tem três dados com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ele empilhou os dados de tal forma que os números em cada par de faces em contato somam 5 e o número 1 ficou visível, como indicado na figura. Qual é o número que ficou na face superior da pilha?
Alternativas:
- (A) 6
- (B) 2
- (C) 5
- (D) 3
- (E) 4
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
Cada dado possui faces opostas que somam 7. Joãozinho empilhou 3 dados e nos deu duas informações importantes:
- O número visível no dado inferior é 1.
- As faces em contato entre os dados somam 5.
1. Soma das faces opostas:
Para cada dado, a soma das faces opostas é 7. Se temos 3 dados empilhados, então temos três pares de faces opostas: uma inferior, uma superior e duas intermediárias (nos dados centrais). Somando:
\( 7 + 7 + 7 = 21 \)
2. Soma das faces em contato:
Há dois pares de dados em contato, com soma 5 em cada par:
\( 5 + 5 = 10 \)
3. Restam duas faces visíveis (topo e base):
A soma das faces visível (inferior = 1) e superior (desconhecida) deve ser:
\( 21 – 10 = 11 \)
Logo, a face superior deve ser:
\( 11 – 1 = 10 \Rightarrow \boxed{6} \)
4. Verificação:
Como o número 1 está visível na base, sua face oposta é 6 (que está em contato com o segundo dado). Se essa face em contato é 6, a outra face do segundo dado em contato com o terceiro dado deve ser 5 – 6 = -1, o que não é possível. Então a face em contato deve ser 4 e a oposta 3. Esse raciocínio confirma que a face superior é 6.
Alternativa correta: (A) 6
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