OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 2
Enunciado:
Na figura, \(ABCD\) e \(BEFC\) são quadrados, cada um com 60 cm² de área. Qual é a área, em cm², da região cinza?
Alternativas:
- (A) 50
- (B) 30
- (C) 70
- (D) 100
- (E) 45
Ver Solução
1. Dados da figura:
- Os quadrados \(ABCD\) e \(BEFC\) possuem área \(60\text{ cm}^2\).
- Logo, os lados dos quadrados medem \(L = \sqrt{60}\).
2. Análise dos triângulos:
- Considera-se o ponto \(M\) como ponto médio de \(BC\).
- Os triângulos \(DPC\) e \(EQB\) são semelhantes.
Usando semelhança, determinamos a altura \(h = \dfrac{L}{3}\). Assim:
\[ \text{Área de } \triangle DPC = \frac{L^2}{6} = \frac{60}{6} = 10 \text{ cm}^2 \]
3. Cálculo das áreas sombreadas:
- \( \text{Área de } \triangle APD = \frac{L^2}{2} – 10 = 30 – 10 = 20 \text{ cm}^2 \)
- \( \text{Área de } \triangle FQE = 20 \text{ cm}^2 \) (simétrica)
- \( \text{Área de } \triangle CPM = \frac{60}{4} – 10 = 15 – 10 = 5 \text{ cm}^2 \)
- \( \text{Área de } \triangle BQM = 5 \text{ cm}^2 \)
4. Soma das áreas sombreadas:
\[ 20 + 20 + 5 + 5 = \boxed{50\text{ cm}^2} \]
Resposta correta: (A) 50
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