OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 10 Resolvida
Enunciado:
O triângulo ABC da figura é isósceles e sua base AB mede 8 cm. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Qual é o perímetro, em centímetros, do triângulo ABC?
Alternativas:
- (A) 32
- (B) 30
- (C) 38
- (D) 34
- (E) 36
Ver Solução
Como M e N são pontos médios dos lados AC e BC, os triângulos ABC e MNC são semelhantes na razão 2:1.
A base AB mede 8 cm, então o segmento MN, por ser base média, mede 4 cm.
Considerando os pontos de tangência da circunferência com os lados do trapézio ABNM, obtemos que:
- \( AF = AD = x \)
- \( BG = BD = y \)
- \( MF = ME = z \)
- \( NE = NG = w \)
Somando todos os segmentos:
\( AB + MN = x + y + z + w = AM + BN \)
Sabemos que \( AB = 8 \) e \( MN = 4 \), logo:
\( AM + BN = 12 \)
Como o triângulo ABC é isósceles, temos:
\( AC = BC = 2 \times 6 = 12 \)
Assim, o perímetro é:
\( AB + BC + AC = 8 + 12 + 12 = \boxed{32 \text{ cm}} \)
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