Questão 6. (Fuvest-SP) Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:
- a) R$ 10,00
- b) R$ 15,00
- c) R$ 20,00
- d) R$ 25,00
- e) R$ 40,00
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🔎 Entendendo o enunciado:
O total é R$ 200. Suponha que inicialmente seriam \( x \) pessoas. Cada uma pagaria: $$ \frac{200}{x} $$ Com a desistência de 2 pessoas, restam \( x – 2 \) pessoas, e cada uma passa a pagar: $$ \frac{200}{x – 2} $$ A diferença entre os valores é R$ 5,00:
1) Montando a equação:
$$ \frac{200}{x – 2} = \frac{200}{x} + 5 $$
2) Multiplicando ambos os lados pelo MMC \( x(x – 2) \):
$$ 200x = 200(x – 2) + 5x(x – 2) $$ $$ 200x = 200x – 400 + 5x^2 – 10x $$
3) Isolando e simplificando:
$$ 200x – 200x = -400 + 5x^2 – 10x $$ $$ 0 = 5x^2 – 10x – 400 $$ Dividindo por 5: $$ x^2 – 2x – 80 = 0 $$
4) Resolvendo a equação do 2º grau:
$$ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2} $$ $$ x = 10 \quad \text{(descartamos } x = -8) $$
5) Valor pago por pessoa que ficou:
Restaram \( x – 2 = 8 \) pessoas: $$ \frac{200}{8} = 25 $$
✅ Conclusão:
- Valor pago por pessoa: R$ 25,00
- Alternativa correta: d)
