Questão 18: (PUC-SP) Potências com fatoração
Enunciado: Escreva a expressão abaixo, em que \( n \in \mathbb{Z} \), em sua forma mais simples:
\[ \frac{ (2^{n-1} + 2^n + 2^{n+1}) \cdot (3^{n-1} + 3^n + 3^{n+1}) }{ 6^n + 6^{n+1} } \]
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1) Fatorar o numerador:
- \( 2^{n-1} + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n-1}(1 + 2 + 4) = 2^{n-1} \cdot 7 \)
- \( 3^{n-1} + 3^n + 3^{n+1} = 3^{n-1}(1 + 3 + 9) = 3^{n-1} \cdot 13 \)
Então o numerador vira: \[ 2^{n-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 91 = 6^{n-1} \cdot 91 \]
2) Fatorar o denominador:
\[ 6^n + 6^{n+1} = 6^n(1 + 6) = 6^n \cdot 7 \]
3) Divisão final:
\[ \frac{6^{n-1} \cdot 91}{6^n \cdot 7} = \frac{91}{7} \cdot \frac{1}{6} = 13 \cdot \frac{1}{6} = \boxed{\frac{13}{6}} \]
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