A soma dos 7 primeiros termos da progressão geométrica \( \left( \frac{2}{3}, -1, \frac{3}{2}, \dots \right) \) é igual a:
(C) \( \frac{463}{96} \)
(D) \( \frac{465}{93} \)
(E) \( \frac{466}{99} \)
Resposta correta: (C) \( \frac{463}{96} \).
Para facilitar os cálculos, somamos primeiro os 3 primeiros termos: \[ \frac{2}{3} – 1 + \frac{3}{2} = \frac{7}{6} \]
A razão da PG é: \[ q = -\frac{3}{2} \]
O 4º termo é: \[ \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} \]
Somando os 4 termos seguintes, usando a fórmula da soma de PG: \[ S_4 = a \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = -\frac{9}{4} \cdot \frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^4 – 1}{-\frac{3}{2} – 1} = \frac{117}{32} \]
Logo, a soma dos 7 primeiros termos é: \[ S_7 = \frac{7}{6} + \frac{117}{32} = \frac{463}{96} \]
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